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习题8.1 1.判定下列平面点集D中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并指出集合的边界. （1）； （2）； （3）. （4）； 解 （1）集合是开集，无界集； 边界为或，但不是区域. （2）集合是开集，区域，无界集；边界为. （3）集合是闭集，闭区域，有界集；边界为 （4）集合既非开集，又非闭集，是有界集；边界为 . 2.设，证明： . 解 . 3.设 ，求. 解 由于，则. 4.求下列各函数的定义域： （1）； （2）； （3）； （4）. 解 （1）定义域为； （2）定义域为； （3）定义域为； （4）定义域为； （5）（5）； 定义域为； （6）； 定义域为，即第一、三象限（不含坐标轴）. 5.求下列各极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 解：（1）； （2）因为，且有界，故； （3）； （4）； （5）； （6）当，时，有， 而 按夹逼定理得 6. 讨论二元函数 当时极限是否存在. 解 显然，当点沿轴趋近于点时， ； 又当点沿轴趋近于点时， . 虽然点以上述两种特殊方式（沿轴或沿轴）趋近于原点时函数的极限存在并且相等，但并不存在.这是因为当点沿着直线趋近于点时，有 ， 显然它是随着直线斜率的不同而不同，因此二重极限不存在. 7.证明下列极限不存在： （1）. 证明 （1）当沿直线趋于时极限 与有关，所以，上述极限不存在. 8.用二重极限定义证明： . 证 ，其中，于是，，；当时，有成立，由二重极限定义知. 9. 求. 解 函数是初等函数，它的定义域为 . 为的内点，故存在的某一邻域，而任何邻域都是区域，所以是的一个定义区域，因此. 10.指出下列函数在何处间断： （1）； （2）. 解（1）函数在处无定义，故该点为函数的间断点； （2）函数在上，即在两条直线上无定义，故两条直线上的点均为函数的间断点. 11. 讨论二元函数 在点是否连续. 解：可以证明，当时极限不存在，所以，在点不连续. 习题8.2解答 1.设在处的偏导数分别为，，问下列极限是什么？ （1）； （2）； （3）； （4）. 解 （1）； （2）； （3）； （4） 2.求下列函数的一阶偏导数： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 解（1）； （2）， ； （3），； （4）， ； （5）， ； （6），； （7）， ； （8）， ， ； （9）； ，， . （10）； ， 3. 设，求，，，. 解 将视为常量，对求导，得. 将视为常量，对求导，得. 于是 ，. 4. 设，求. 解 因为，所以 . 若用，也可求，但较麻烦. 5.设，求. 解法一 由于，. 6.设，求，. 解 ，. 7.在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？ 解 （1）按偏导数的几何意义，就是曲线在点处的切线对于轴正向所成倾角的斜率，而，即，于是倾角. 8.求下列函数的全微分： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 解 （1）， ， ； （2）， 由函数关于自变量的对称性可得， ； ； （3）解 因为 ，，， 所以 . （4） ； （5）；由全微分公式，有 . （6） ； 9.求下列函数的全微分： （1）在点处的全微分； （2）在点 处的全微分. 解 （1） 因为，. ，， 所以有 . （2）因为 所以. 10.求函数当，，，时的全微分和全增量，并求两者之差. 解 因为 所以当，，，时全微分的值为 ， 而当，，，时的全增量为 ， 全增量与全微分之差为. 11.计算 的近似值.（取ln2=0.693） 解 设函数 .显然，就是要求函数值. 取 ，则 ，而 ，. 故 . 习题8.3解答 1.求函数在点处沿从点到点的方向的方向导数. 解 按题意，方向，. 又 ，， ，， 故 . 2.求函数在点处沿与轴正向夹角为的方向的方向导数. 解 依题意， . 又 ，， ，， 故 . 3.求函数沿着点