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第九节 无穷小的比较 分布图示 ★ 无穷小的比较 ★ 例1-2 ★ 例3 ★ 常用等价无穷小 ★ 例4 ★ 等价无穷小替换定理 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-9 内容要点： 一、 无穷小比较的概念：无穷小比的极限不同, 反映了无穷小趋向于零的快慢程度不同. 二、 常用等价无穷小关系： 三、 关于等价无穷小的两个重要结论： 定理1 与是等价无穷小的充分必要条件是 定理2 设且，存在, 则 例题选讲： 无穷小比较概念的应用： 例1（E01）证明: 当时, 为x的四阶无穷小. 解 故当时，为的四阶无穷小. 例2（E02）当时, 求关于x的阶数. 解 当时，为的三阶无穷小. 例3 当时，将下列各量与无穷小量进行比较. （1） （2） （3） 解 (1) 因为所以时，是无穷小量，又因为 所以是比较高阶的无穷小量. (2) 因为所以当时，是无穷小量，又 所以是关于的同阶无穷小量. (3) 由知当时，是无穷小量，但是 不存在. 所以，与不能比较. 例4 (E03) 证明 证 令则且时，因此 即有等价关系 上述证明同时也证明了等价关系 例5（E04）求 . 解 当时，故 例6（E05）求 错解 当时， 原式 正解 当时， 故 例7（E06）求 解 当时，故 例8求 解 当时, 故 例9求 . 解 由于时， 故 课堂练习 1. 求极限 . 2. 任何两个无穷小量都可以比较吗?