《函数的定义域和值域》学案.docVIP

函数的定义域和值域 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 新课标 课时时长（分钟） 60 知 识 点 1. 求函数定义域的常用方法 2. 求函数值域常用的方法 学习目标 进一步掌握构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域； 学习重点 定义域、值域的求法 学习难点 定义域、值域的求法 学习过程 一、复习预习 1、函数的概念及三要素 2、函数的表示方法 二、知识讲解 考点1 常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零． (2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R. (5)y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)． (6)y＝tan x的定义域为x\a\vs4\al(|)x≠kπ＋\f(π2)，k∈Z). (7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约． 考点2 基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R. (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是： 当a0时，值域为y\a\vs4\al(|)y≥\f(4ac－b24a))； 当a0时，值域为y\a\vs4\al(|)y≤\f(4ac－b24a)). (3)y＝kx(k≠0)的值域是{y|y≠0}． (4)y＝ax(a0且a≠1)的值域是{y|y0}． (5)y＝logax(a0且a≠1)的值域是R. (6)y＝sin x，y＝cos x的值域是[－1,1]． (7)y＝tan x的值域是R. 考点3 分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间的关系 分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集 三、例题精析 【例题1】 【题干】(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝ 1－2log6x的定义域为________． (2)已知f(x)的定义域是[－2,4]，求f(x2－3x)的定义域． 【答案】(0，6 ] 【解析】(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤12?0＜x≤6，故所求定义域为(0，6 ]． (2)∵f(x)的定义域是[－2,4]， ∴－2≤x2－3x≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x≤1或2≤x≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4] 【例题2】 【题干】求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]； (2)y＝x2－xx2－x＋1； (3)y＝log3x＋logx3－1. 【解析】(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∵0≤x≤3， ∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16. ∴0≤y≤15， 即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]． (2)y＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1， ∵x2－x＋1＝\a\vs4\al\co1(x－\f(12))2＋34≥34， ∴01x2－x＋1≤43， ∴－13≤y1，即值域为－\f(13)，1). (3)y＝log3x＋1log3x－1， 令log3x＝t， 则y＝t＋1t－1(t≠0)， 当x1时，t0，y≥2 1t)－1＝1， 当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立； 当0x1时，t0， y＝－?－t?＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1t))))－1≤－2－1＝－3. 当且仅当－t＝－1t即log3x＝－1，x＝13时，等号成立． 综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 【例题3】 【题干】若函数f(x)＝1x－1在区间[a，b]上的值域为\f(13)，1)，则a＋b＝________. 【答案】6 【解析】∵由题意知x－10，又x∈[a，b]， ∴a1.则f(x)＝1x－1在[a，b]上为减函数， 则f(a)＝1a－1＝1且f(b)＝1b－1＝13， ∴a＝2，b＝4，a＋b＝6. 【例题4】 【题干】若函数f(x)的值域是\f(12)，3)，则函数F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域是(　　) A.\f(12)，5)　　　　　　　 B.\f(56)，5) C.2，\f(103)) D.3，\f(103)) 【答案】　C 【解析】令t＝f(x)，则12≤t≤3. 易知函数g(t)＝t＋1t在区间\f(12)，1)上是减函数，在[1,3]上是增函数． 又因为g\a\vs4\al\co1(\f(12))＝52，g(1)＝2，g(3)＝103. 可知函数F(x)＝f(x)＋1f?x?的值域为2，\f(103)). 四、课堂运用 【基础】 1．已知a为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R的是(　　) A．f(x)