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第三单元 三角函数 3.1 三角函数的概念 一、选择题 1. 设θ是第三象限角，且|cos|＝－cos，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：由设θ是第三象限角知是第二、四象限角，再由cos≤0可得． 答案：B 2．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是(　　) A．sin B．cos C．tan D．cos 2θ 解析：∵2kπ＜θ＜＋2kπ(k∈Z)，∴kπ＜＜＋kπ(k∈Z),4kπ＜2θ＜π＋4kπ(k∈Z)． 可知是第一、三象限角，sin，cos都可能取负值，只有tan能确定为正值． 2θ是第一、二象限角或y轴正半轴上的角，cos 2θ可能取负值． 答案：C 3．在(0,2π)内，使sin x＞cos x成立的x的取值范围为(　　) A．(，)∪(π，) B．(，π) C．(，) D．(，π)∪(，) 解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在(0,2π)内，sin x＞cosx，则x∈(， π)． 答案：C 4．已知点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内，α的取值范围是(　　) A．(，π)∪(π，) B．(，)∪(π，) C．(，π)∪(，π) D．(，)∪(π，π) 解析：点P在第一象限，其纵坐标y＝tan α＞0，因此α是第一、三象限角，而A、C、D三项的取值范围中皆含有第二象限角，故排除A、C、D三项． 答案：B 二、填空题 5．设α为第二象限角，其终边上一点为P(m，)，且cos α＝m，则sin α的值为________． 解析：设P(m，)点到原点O的距离为r，则＝cos α＝m，∴r＝2，sin α＝ ＝＝. 答案： 6．若角α的终边经过点P(1，－2)，则tan 2α的值为________． 解析：∵tan α＝＝－2，∴tan 2α＝＝. 答案： 7．函数y＝＋的定义域是________． 解析：由题意知 即∴x的范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)． 答案： [＋2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 三、解答题 8．已知角α的顶点在原点，始边为x轴非负半轴，终边在直线y＝kx上，若sin α＝，且cos α＜0，求实数k. 解答：由sin α＝＞0，cos α＜0，知α位于第二象限，故k＜0，设P(x，kx)(x＜0)是 终边上一点， 则sin α＝＝＝?k＝－2. 9．已知扇形OAB的圆心角为4弧度，其面积为2 cm2，求扇形周长和弦AB的长． 解答：设长为l，OA＝r，扇形OAB的面积为S扇形．∵S扇形＝lr，∴lr＝2.① 设扇形的圆心角∠AOB的弧度数为α，则|α|＝＝4，② 由①②解得r＝1，l＝4，∴扇形的周长为l＋2r＝4＋2×1＝6 (cm)． 如图所示，作OH⊥AB于H，则AB＝2AH＝2rsin ＝2rsin(π－2)＝2sin 2(cm)． 10．试利用单位圆中的三角函数线证明：当0α时，sin ααtan α. 证明：如图，单位圆与α终边OP相交于P点，过P作PM⊥x轴，垂足 为M，连结AP，过单位圆与x轴正半轴的交点A作AT⊥x轴交OP于T， 则sin α＝MP，α＝，tan α＝AT，由S 扇形OAPS△OAT， 即OA·OA·AT，∴AT.又MPPA， 因此MPAT.即sin ααtan α. 1．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时 针方向旋转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函 数d＝f(l)的图象大致是(　　) 解析：∠AOP＝l，当0≤l≤π，d＝2sin， 当πl≤2π，d＝2·sin(π－)＝2sin，∴d＝2sin，0≤l≤2π. 答案：C 2．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点A及点C处，且小区里有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)． 解答：设该扇形的半径为r米，连结CO(如图所示)．由题意，得CD＝500(米)，DA＝300(米)，∠CDO＝60°. 在△CDO中，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2， 即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×＝r2. 解得r＝≈445(米)，该扇形的半径OA的长约为445米．