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PAGE  PAGE 5 第五章 不定积分 一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求 1．了解原函数、不定积分的概念及其性质． 2．掌握不定积分的基本公式． 3．掌握不定积分的换元法和分部积分法． 重点 原函数、不定积分的概念，不定积分的基本公式，不定积分的换元法和分部积分法． 难点 不定积分的换元法和分部积分法． （二）内容提要 1．原函数与不定积分 （1）原函数 设函数在某区间上有定义，若存在函数，使得在该区间任一点处，均有 , 则称为在该区间上的一个原函数． 关于原函数的问题，还要说明两点: ①原函数的存在问题：如果在某区间上连续，那么它的原函数一定存在（将在下章加以说明）． ②原函数的一般表达式：若是的一个原函数，则是的全部原函数，其中为任意常数． (2)不定积分 若是在某区间上的一个原函数，则的全体原函数（为任意常数）称为在该区间上的不定积分，记为，即 积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系： ①,此式表明，先求积分再求导数（或求微分），两种运算的作用相互抵消． ②此式表明，先求导数（或求微分）再求积分，两种运算的作用相互抵消后还留有积分常数．对于这两个式子，要记准，要熟练运用． 2．不定积分的基本积分公式 不定积分的基本积分公式如下： 3．不定积分的性质 （1）积分对于函数的可加性，即 , 可推广到有限个函数代数和的情况，即 ． (2)积分对于函数的齐次性，即 ． 4．分部积分公式 ． 二、主要解题方法 1．直接积分法 例1 计算（1） ， （2）． 解 （1）不能直接用公式，用加项减项变换 ，即 == （2）不能直接用公式，用二项和公式展开再利用三角变换． 得 原式==+=． 小结 计算简单的不定积分，有时只需按不定积分的性质和基本公式进行计算；有时需要先利用代数运算或三角恒等变形将被积函数进行整理．然后分项计算． 2．换元积分法 （1）第一换元积分法(凑微分法） = . 例2 计算 （1） ， （2）． 解 （1） 选择换元函数使所给积分化为基本积分形式，再求出结果． 为此，令 ，则 ，于是 ===． 为简便起见，令 这一过程可以不写出来，解题过程写成下面形式即可, == （ 称为凑微分）． （2）==． 小结 凑微分法一般不明显换新变量，而是隐换，像上面所做，这样省掉了回代过程，更简便． （2）第二换元积分法 = （其中 是单调可微函数） 例3 计算 （1） ， （2）． 解（1） 令, 则 , ,于是 原式==== =. （2） 设 ,, , 于是 1 原式=== = = =． 小结 第二换元法常用于消去根号，但有时也用于某些多项式 ，像 也可用函数的三角代换求出结果．通常 当被积分函数含有根式 时，可令 , 当被积分函数含有根式 时，可令 , 当被积分函数含有根式 时，可令 . 分部积分法 分部积分的公式为 =. 应用此公式应注意: （1） 要用凑微分容易求出, （2） 比容易求. 例4 计算 （1） ， （2） ． 解 （1） 选 ，， ， , 于是 原式 , 对于 再使用分部积分法, 选， , 则 ，,从而 ==． 原式=（）, 为了简便起见，所设 , 等过程不必写出来，其解题步骤如下: ==. （2） == = = =+ =+, 式中出现了“循环”，即再出现了移至左端，整理得 =[+]+． 小结 此积分一般用于??积函数为不同类型的函数乘积式,但也用于某些函数，如对数函数、反三角函数等，对于被积函数是指数函数与三角函数乘积，还有以及上面所讲的等，需多次使用分部积分公式，在积分中出现原来的被积分函数再移项，合并解方程，方可得出结果，而且要记住，移项之后，右端补加积分常数． 三、学法建议 1．本章的重点是原函数与不定积分的概念、基本积分公式、换元积分法与分部积分法．难点是第一换元积分法，既基本又灵活，必须多下工夫，除了熟记积分基本公式外，还要熟记一些常用的微分关系式．如 ，， ， ,等等． 2．不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法．在具体的问题中，常常是各种方法综合使用针对不同的问题采用不同的积分方法． 如 ，先换元，令，再用分部积分法即可， =，也可多次使用分部积分公式． 3．求不定积分比求导数要