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向量的概念及运算（第一课时） 学习目标 理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）； 能正确地表示向量，初步学会求向量的模； 理解零向量、相等向量、负向量和平行向量的概念并会辨认图形中的相关向量 掌握向量的加法的平行四边形法则和三角形法则。 重点难点 向量的有关概念、平行向量，向量加法的运算法则 教学过程 一、引入向量 在足球场上，中场球员A将足球传给前锋B，让B射门，如图，这时足球的位移是一个既有大小又有方向的量，它的方向是由A到B的方向，它的大小是A、B间的距离。 飞机在飞行途中飞机所受的力有升力、重力、推进力和阻力，它们都是既有大小又有方向的量。 二、新授内容 1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。向量的几何意义是有向线段（如图），向量的大小是线段的长，向量的方向是箭头的方向。 练习：下列各种量中，哪些是向量，哪些是标量（即数量） A（起点） B（终点） （1）密度（2）体积（3）位移（4）加速度（5）重力 （6）功（7）电阻（8）风速（9）比热 解：（3）（4）（5）（8） 请你再各写出3个向量和标量 （I）向量的表示方法： 向量可以用小写字母上面加箭头表示，如（读作“向量a”） 也可以用向量的起点和终点的字母上面加箭头表示，如（读作“向量AB”） （II）向量的模：向量（或）的大小称为向量的模，记作（或）。 说明： 向量模的非负性。 思考：向量的模可以比较大小，那么向量是否可以比较大小？ A B C D 2、向量之间的关系 ： （I）相等向量：模相等且方向相同的向量。 说明：（1）向量与相等，记作； （2）零向量与零向量相等； （3）向量的平移性质：向量经过平移后，大小、方向都不会改变，所以平移后的向量与原向量相等，如图：经过平移得到，即。 （II）负向量：模相等且方向相反。如与互为负向量，记作，上图中。 注意负向量与相等的向量的区别。 （III）零向量：模为0的向量（始点与终点重合），记作。 说明（1），方向是任意的。 （2）与0的区别。 （3）所有的零向量相等，零向量的负向量也是零向量。 （IV）单位向量：模为1的向量叫单位向量。 （V）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作。 规定与任一向量平行。 说明：（1）若，则；反之不成立。 （2）若，，则。 思考：若且，则与是否相等？ 如图表示平面上的六个平行四边形 （1）问图中哪些向量分别与相等； （2）找出图中向量的负向量； （3）找出图中向量的平行向量。 解：略 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由。 ①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点不可能在一直线上；（×）可以共线 ②任一向量与它的负向量不相等； （×） ③若，则； （×） ④若，则或。 （×） 某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点. O A B C （1）作出向量、、（2）求的模。 解：略 3、向量的加法： （I）向量的加法法则： 平行四边形法则：两共始点的向量相加。 三角形法则： 两首尾相接的向量相加。 O A C 推广：。 A B D E F O C 说明：（1）两非共始点的、非首尾相接的向量相加可以通过平移。 （2）两平行的向量相加可以通过首尾相接的方法。 （3）；。 （II）向量加法的运算律 交换律： 结合律：————————图证略 如图，在正六边形ABCDEF中，O是中心，用图中的一个向量表示以下向量的和： 1）=_________； 2）=__________； 3）=_______；4）=_____________。 解：略 课堂小结 向量的有关概念、向量加法的运算法则 课后反馈 下列各量中不是向量的是（ ） A.浮力B.风速 C.位移 D.温度 下列说法中错误的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.零向量的起点与重点重合 D.零向量的方向是任意的 判断下列4个命题的真命题是（ ） A.长度相等的向量都相等 B.若，，则 C.平行四边形ABCD中， D.若，则 ①两个非零向量平行是这两个非零向量相等的____________条件； ②设和为非零向量，则且是的____________条件。 ⊿ABC中，已知，，若，则_______。 设A、B、C是三个点，则______。 如果，，，，则的最大值是______，最小值是_____。 如图，设