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2017-08-22 发布于江苏
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--工程矩阵理论期终考试试卷

一. （10％）求的子空间的交空间及和空间的基和维数，其中，．二. （10%）欧氏空间中的内积定义为：对，。令，，，。求在中的正投影，即求，使得．三. （20%）在矩阵空间上定义线性变换如下：对任意矩阵，，其中，为的迹。 1. 求在的基下的矩阵； 2. 分别求的值域及核子空间的基及维数； 3. 求的特征值及相应的特征子空间的基； 4. 问：是否存在的基，使得在这组基下的矩阵为对角阵？为什么？四. （10%）根据参数不同的值，讨论矩阵的Jordan标准形，并求矩阵的秩。五. （14%）假设矩阵． 1. 求的广义逆矩阵； 2. 求一个次数不超过2的多项式，使得．六. （10%）假设是维酉空间上的线性变换，若对任意，有。 1. 证明：在的标准正交基下，的矩阵为Hermite矩阵； 2. 证明：存在的一组标准正交基，使得的矩阵为对角阵。七. （8%）假设矩阵的秩为，证明。八. （8%）假设是的广义逆矩阵，证明：，其中，分别表示矩阵的核空间和的值域．九. （12%）假设都阶Hermite矩阵． 1. 如果是正定的，证明：存在可逆矩阵，使得都是对角阵； 2. 如果都是半正定的，并且的秩，证明：存在可逆矩阵，使得都是对角阵。