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平面向量分解定理 学习目标 1、体验平面向量的分解定理的发现及形成过程。 2、根据已有的物理经验，体会向量分解的必要性。 3、了解平面向量分解定理及其定义，感悟化归数学思想。 重点难点 平面向量的分解定理及其简单应用 教学过程 一、实例引入 摆渡船的问题 1）要求船的实际方向垂直于对岸 2）要求船头的方向垂直于对岸 速度的分解 速度的合成 二、定理学习 设、是平面内两个不平行的向量，是平面内任意一个非零向量， A Ｂ Ｍ Ｎ Ｃ （1）如图，，，， 作平行四边形，则，， 所以必存在实数、，使得，，因此，所以可以表示成、的线性组合。（存在性） 特别地，当时，。 （2）假设，由，则，又因为，则，即。（唯一性） 平面向量分解定理：如果、是同一平面内两个不平行的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使。 说明（1）、使这一平面内所有向量的一组基，、也是一对特殊的基向量。 （2）命题的另一种陈述：平面内任一向量可以唯一地表示为、的线性组合的充要条件是。（线性唯一） （3）若，则他们的任意一个线性组合都只能表示与之平行的向量。 三、定理应用 例1：课本P66 例1 解：略。 注意：作图要交代清楚。和与差的法则要点要掌握到位。 例2：课本P66 例 2 解：略 例3：下列能成为一组基向量的是（ ） （1），；（2），；（3），。 解：选（1），要求。 例4：，，，能否将、作为一组基向量表示？ 如何表示？ 解：因为、不平行，则、一定能作为基向量。 设，则，所以，则。 注意：待定系数法。 例5：已知， （1）用、表示； （2）是与轴正方向成角、与轴正方向成角的单位向量，用、表示。 解：（1） （2）由题意可知，设，则，， 解得，则。 例6：、是不平行的两个向量，，用、表示。 解：由得，则。 说明：三点共线且 充分性：上题中令，即可。 必要性： ，则， 得，因为，所以， 因此，所以三点共线。 四、课堂小结 平面向量分解定理，线性唯一性 课后反馈 练习册 P37 / A组 B组 一课一练 P59 /2，7