十微分方程方法.docVIP

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 高等数学研究 授课对象 2006级本科 授课题目 第十六讲　微分方程方法 课时数 4 教学 目的 通过教学使学生掌握常见微分方程的解法，熟练掌握一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶线性常系数微分方程的解法。 重 点 难 点 1．重点一阶线性微分方程，可降阶的高阶微分方程，二阶线性常系数微分方程的解法； 2．难点微分方程应用问题。 教 学 提 纲 第十六讲　微分方程方法 1．基本类型 1.1可分离变量的微分方程方程 1.2齐次方程 1.3一阶线性微分方程 方法1:公式法，通解为： 方法1:常数变易法， 1.4有些微分方程把y看成x的函数不是一阶线性微分方程，但把x看成y的函数是一阶线性微分方程。 2. 可降阶的高阶微分方程 类型１:，解法：连续积分次； 类型2:,特点：不显含未知函数，解法：设； 类型3特点：不显含自变量，解法：设； 3. 二阶线性常系数微分方程 3.1二阶常系数齐次线性微分方程 3.2二阶常系数非齐次线性微分方程 教学过程与内容 教学 后记 第十六讲　微分方程方法 一、基本类型 1.可分离变量的微分方程方程 求解方法： 2．齐次方程 求解方法：，令 ， 化简并整理有求出积分后，再以代替，即可求得齐次方程的通解。 3．一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程。如果，则称为一阶线性齐次微分方程；如果不恒等于零，则称为一阶线性非齐次微分方程。 求解 方法1：公式法，通解为： 方法2：常数变易法， 例1:求微分方程 的通解。 【解】分离变量有：,两端积分：,可得： 通解为： 例2：求微分方程 的通解。 【解】原方程可化为 令 ，有 可得 解得 通解为 【练习】解微分方程 (1) (2) 答案：（1）（2） 例3: 求微分方程 的通解。 【解法一】令 解得： 用常数变易法，令： 带入，化简，有： ，即 通解为：． 【解法二】 通解为：= = 4.伯努利方程 方程 叫做伯努利方程, 伯努利方程可通过常数变易法求解. 例4:解方程 【解】解得，，把C看成x的函数，令，带入原方程得： 原方程的通解　 5.有些微分方程把y看成x的函数不是一阶线性微分方程，但把x看成y的函数是一阶线性微分方程。 例5: 求微分方程的通解。 【分析】直接解该题是困难的，但把x看成y的函数则是一阶线性微分方程 【解】 ６. 二元全微分方程的解法 ，若存在使,则称它为全微分方程 判别法：为全微分方程的充分必要条件是。 通解：； 求法： 一般取. 例6:验证是为全微分方程,并求其通解。 【解】这里,, 所以，是为全微分方程 ==. 方程的通解为 (为任意常数). 二、 可降阶的高阶微分方程 类型１:，解法：连续积分次； 类型2:,特点：不显含未知函数，解法：设； 类型3：，特点：不显含自变量， 解法：设； 例7: 求微分方程 得通解。 【解】积分 再积分，有： 再积分，通解为： 例8: 求方程 满足初始条件 的特解。 【解】 设，原方程化为 积分有： 由 ，知 因此，有： 积分有： 由 ，知 因此，特解为：。 例9: 求方程 的通解。 【解】 设 分离变量，有： 积分： 因此： 通解为：。 三、 二阶线性常系数微分方程 1二阶常系数齐次线性微分方程 形如 （其中是常数）的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程。 解法：设特征方程 的两个根为。 （1）当时， ，方程（3）的通解为：； （2）当时， ，方程（3）的通解为：； （3）当时，记 ，方程（3）的通解为：。 【练习】直接写出二阶常系数齐次线性微分方程的解 ; ; 2二阶常系数非齐次线性微分方程 形如 的方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程。 求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解归结为求对应的齐次方程 的通解和非齐次方程本身的一个特解得和。 类型1： 型方程的特的特解具有如下形式： 　　　 其中 与 为相同的次多项式，而按不是特征方程的根、是特征方程的单根、或是特征方程的重根依次取0、1或2。 类型2：型方程的特解的形式为： ， 其中按不是特征方程的根或是特征方程的单根取0或1。 例10:求微分方程 的通解。 【解】齐次方程的通解为： 令非齐次方程的特解为 代入方程可解得： 通解为： 例11:求微分方程 的通解。 【解】齐次方程的通解为： 设特解 代入方程，解得： 通解为：。 练习：; ３.二阶常系数非齐次线性微分方程 若的特解为，的特解为，则 的特解为＋； 四、 微分方程综合题 近年微分方程很少单独出题，大多与其它知识点联合出综合体题。 例12:在