专题特殊的平行边形.docVIP

专题四 特殊的平行四边形 知识点归纳： 1. 菱形：四条边相等的四边形。 （1）菱形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于：对角线互相垂直，对角线平分对角。 （2）菱形的对称性：菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是对角线），它有两条对称轴。 （3）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的倍。 （4）菱形的面积可以用对角线乘积的一半来计算。对角线互相垂直，这个特性容易和勾股定理相结合。 2．矩形：四个角都是直角的四边形。 （1）矩形具有一切平行四边形的性质，其特殊点在于：对角线相等。 （2）矩形的对称性：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它有两条对称轴。 3．正方形：四边相等且四个角都是直角的四边形。 （1）正方形具有平行四边形的一切性质，确切的说，它是矩形和菱形的交集，因此具有矩形和菱形的一切特性。 （2）正方形的对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴，分别是两条对角线和两条中点连线）。 （3）正方形的两条对角线把正方形分成8个等腰直角三角形。 典型例题讲解及练习： 例1 已知菱形的一条对角线是另一条的对角线的2倍，面积为S，则它的边长是________. 练习： 边长为13的菱形ABCD的对角线BD长10cm，则对角线AC长为_________,面积是________. 2．菱形两个临角度数比是1：3，边长是，则高是________. 3. 菱形ABCD的周长为16，一个内角为60°，则这个菱形的两条对角线AC、BD的长度分别是__________,菱形的面积是__________. 例2 如图，CD为斜边AB边上的高，的平分线交CD于E，交BC于F，于G，求证：四边形EGFC是菱形。 练习： 1．中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE//AB交MN于E，连接AE、CD。求证：ADCE为菱形。 2．菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足。求证：（1）；（2）判断的形状，并说明理由，同时指出是由如何变换得到的？ 例3 矩形ABCD中，，BE:ED=1:3,AB=2,AC长为________. 练习： 在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，，AE平分，交BC于点E，则=________. 在矩形ABCD中，E为BC中点，，AE=2，AC=________. 在矩形ABCD中,AD=12,AB=5,P是AD上的动点，有，E、F为垂足，则PE+PF=__________. 例 4 正方形ABCD中，E为CF上的一点，四边形BEFD是菱形，求∠BEF的度数。 练习： 正方形ABCD中，以CD为边向正方形外做等边三角形△CDE，BE交AC于F， 则∠AFD=_________。 2．已知：在矩形ABCD中，AE(BD于E，∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC的度数。 例5 在中，，将绕C点顺时针旋转60°得到，得E在AC上，再将沿着AB所在直线翻转180°得到，连接AD。 求证：（1）四边形AFCD是菱形；（2）连接BE延长交AD于G，连接CG，请问四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 补充习题： 1. 如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F。 (1)判定OE和OF的数量关系，并证明； (2)当点O在边AC上运动的时候，四边形BCFE会是菱形吗？说明理由； (3)当点O运动到何处，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。进一步的，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF会是正方形？ 2. 如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_______． 3.在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一个动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为___________. 4. 已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AE=2。 求（1）∠ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。 5.矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度运动，Q沿DA边从点D向A以1cm/s的速度运动，若P、Q同时出发，t表示运动时间（0t6）. （1）当t为何值时，△QAB是等腰三角形？ （2）试求四边形QABC的面积，并提出一个相关结论。 6.