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上海交通大学2004至2005第二学期线性代数期末考试试卷  上海交通大学 2004-06-16 姓名____________班级___??_______学号______________得分?????????? 题号 一 二 三 四 总分 得分 ? ? ? 一、选择题（每题3分，共15分） 1.????设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中 正确的是????????? (A)?；?????????????(B)?； (C)?；????????????????(D)? 2.?阶实对称矩阵和相似的充分必要条件是????????? (A)?与都有个线性无关的特征向量； (B)?； (C)?和的主对角线上的元素的和相等； (D)?与的个特征值都相等 3.?设,,,是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列向量组 中不再是的基础解系的为________________ (A)?,+,++,+++； (B)?+,+,+,-； (C)?+,-,+,+； (D)?+,+,+,+ 4.?设方程组有无穷多组解，则必有_______________ (A)?＝1????????(B)?＝－1????????(C)?＝2??????????(D)?＝－2 (A)?向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B)?向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等 (C)?当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D)?当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 二、填空题（每题3分，共15分） 1．设?，5，?是矩阵的特征值，则=?????????， 对应三个特征值的特征向量是????????????,且????????????? （选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交） 2．设为阶可对角化矩阵,且,则A必有特征值＝?????????； 且其重数为??????????，其对应的线性无关的特征向量有??????????个 3．已知实二次型=?是正定二次型， 则参数的取值范围为?????????? 4．设，已知，都是齐次线性方程组的解， 则矩阵＝?????????????????????????????（答案不唯一） 三、计算题（每题9分，共54分） 1.?试求行列式?，，，其中，，为??阶方阵 ?????，?， 2.????已知线性方程组，（1）常数取何值时，方程组有 无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解． 3．设4阶方阵满足方程?，试求矩阵，其中 4．求正交变换，用此正交变换将以下实二次型化为标准形 = 5．设已知非齐次线性方程组??的三个解为 ＝，?????＝，?????＝， 求：(1)?齐次线性方程组的通解；(2)?非齐次线性方程组的通解 6．设线性空间中的向量组为 ????=，=，=，=，=，= （1）求由,,,生成的子空间L(,,,)的维数与一个基； （2）从,中选出属于L(,,,)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。 四、证明题（每题8分，共16分） 1．设和是阶正定矩阵，证明：?合同于 2．设??是齐次线性方程组??的基础解系，向量满足 ，证明：向量组??线性无关。