浅析常数变异法和迭加原理解常微分方程.docVIP

目 录 1﹑引言 ……………………………………………………………… 3 2、讨论和结果………………………………………………………… 3 2.1常数变易法的实质………………………………………………… 3 2.2常数变易法与迭加原理的关系 …………4 2.3迭加原理…………………………………………………………… 5 2.4实例 …………………………………………………… 6 3、小结. ………………………………………………………… 10 参考文献 …………………………………………………………… 10 致谢 ………………………………………………………………… 11 浅析常数变异法和迭加原理解常微分方程 （天水师范学院, 甘肃 天水 , 741000） 摘要：常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解，对常数变易法与迭加原理的关系进行分析，从而通过迭加原理使解常微分方程的过程大大简化。 关键字:常数变异法； 迭加原理； 常微分方程 1 、 引言 常微分方程是一门与实际联系比较紧密的学科，而解常微分方程则是常微分方程理论的一个重要的内容，我们知道对于大多数常微分方程的求解过程是比较繁琐的，因此怎样简化其过程往往是我们所重视的。 我们知道，对于求齐次微分方程的通解是比较容易的，我通过剖析常数变易法及其实质，用实例把其与迭加原理联系在一起，把一个非齐次方程拆分成几个齐次常微分方程，最后用迭加原理求出方程的通解。 2、讨论和结果 迭加原理 设，，分别是非齐次线性微分方程 ， . . . . . . . 那么，方程 的特解是上述齐次方程通解的代数和即为原n阶非齐次方程的通解. 证明 我们这里只证明m=2的情况，m2的情况同理 不妨设（t），（t）分别是非齐次线性微分方程 ， 的解，所以 ’ . 把以上两式相加，并且利用导数的运算法则有 这就是说是方程 的解，结论得证. 下面我通过迭加原理解一些例题 例1（线性一阶微分方程） 求方程的通解. 解法一（常数变易法）：根据上述常数变易法公式可得 P(x)=’ Q(x)= 所以， 其中c为任意常数 解法二（迭加原理）： 将上述方程拆成 ( ( 解得(，( 由迭加原理得原方程的通解为 其中c为常数 例2 （线性高阶微分方程） 求方程的通解，已知它对应齐次线性微分方程的基本解组为cos t ,sin t . 解法一（常数变易法）：令 将它代入方程，则可得决定和的两个方程 及 解得 由此 于是元方程的通解为 其中为任意常数。 解法二 （迭加原理法）： 例3（非线性微分方程） 求方程，x0 解法一（常数变易法）：方程对应齐次线性方程的通解为y=cx，其中 c为任意常数。 令 y=c（x）x， 解得 （lnx=c0） 回代变量，即得原方程通解为 （lnx=c0）其中c为任意常数 解法二 （迭加原理法）： 参考文献:6 [1] 张禾瑞,郝邴新.高等代数（第四版）[M].北京:高等教育出版社,1995,5. [2] 邱森.线性代数[M].武汉大学出版社,2007. [3] 北京大学数学系,高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社,1998 [4] 孙家明.高等代数的内容与方法[M].兰州:兰州大学出版社,1990. [5] 杨子胥.高等代数习题集（下册）[M].济南:广东科学技术出版社,1982. [6] 北大几何与代数教研室代数小组编. 高等代数（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2003.