零点定理讲义.docVIP

函数与方程 知识要点梳理知识点一、函数的零点1.函数的零点　　一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.　　要点诠释：　　函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．　　归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．2.二次函数零点的判定　　二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表. 判别式 方程的根 函数的零点 两个不相等的实根 两个零点 两个相等的实根 一个二重零点 无实根 无零点 　 3.二次函数零点的性质　　①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.　　②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.　　引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.4.二次函数的零点的应用　　①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图.　　②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质.　　引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数.5.变号零点与不变号零点　　如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使.如果函数图象通过零点时穿过x轴，则称这样的零点为变号零点，如果没有穿过x轴，则称这样的零点为不变号零点. 知识点二、二分法1.二分法　　所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法.2.用二分法求函数零点的一般步骤： 　　已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度.　　第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中.　　第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为　　.　　计算和，并判断：　　①如果，则就是的零点，计算终止；　　②如果，则零点位于区间中，令；　　③如果，则零点位于区间中，令　　第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 　　.　　计算和，并判断：　　①如果，则就是的零点，计算终止；　　②如果，则零点位于区间中，令；　　③如果，则零点位于区间中，令；　　……　　继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止.这时函数的近似零点满足给定的精确度.三、规律方法指导　　1．如何求函数的零点？　　答：求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标.　　2．如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？　　答：单调函数在其定义域内最多有一个零点. 经典例题透析类型一、求函数的零点　　1．求下列函数的零点. 　　(1)；　　(2). （3） 举一反三：　　【变式1】求函数：(1)； (2)的零点. 　　练习 1求函数的零点． 2．设函数f(x)＝则函数F(x)＝f(x)－14的零点是________． 　　 类型二、确定函数零点的个数　　2．二次函数中，，则函数的零点的个数是( )　　A．1　　B．2　　C．0　　D．无法确定　 练习1．函数f(x)＝(x－1)lnxx－3的零点有 (　　) A．0个　　　　　　　　 　　B．1个 C．2个 D．3个 2 函数f(x)＝的零点个数为( ). A．0 B．1 C．2 D．3 零点定理的探究： （1）观察二次函数的图象： 1 在区间上有零点______；_______，_______, ·_____0（＜或＞）． 2 在区间上有零点______；·____0（＜或＞）． （2）观察下面函数的图象 1 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 2 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 3 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 练习1.若函数f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(－2,2)内有一个零点，则f(－2)·f(2)的值 (　　) A．大于0　　　　　　 　　B．小于0 C．等于0 D．不能确定 2．设函数f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f(－12)·f(12)＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内