随机过程习题解答,.docVIP

习题1 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s. 证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知 EX(t)=(， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s无关 必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s无关，说明 EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t的函数 记，．．．，为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 t , x 1 定义 I( t , x)= 并记X(t)=，，这是，．．．，的经验分布函数。 试求过程X（t）的均值和协方差函数。 解： EI= P= t ， D= EI－ = t－= t(1－t) ， cov=EI(t,)I(s,)－EI(t, )EI(s, ) = st－st=0 k = j ， cov= EI(t,)I(s,)－st = min(t,s)－st EX(t)=== t cov= = = 3.令，为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为，为实数，定义过程.试求的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？ Solution: . . ，,， = 为宽平稳过程. 4.Poisson过程满足（i）；(ii)对，服从均值为的Poisson分布；（iii）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？ Solution ， 显然不是宽平稳的. 5. 为第4题中的Poisson过程，记，试求过程的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution , Cov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s) =E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))- 若 s+1t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-=- 若ts+1≤t+1, 即tst-1, 则 Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] - =E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s)) +E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- =(s+1-t)= -(t-s)- (3) 若tst+1 Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s)) +E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- =0+(t+1-s)+0- =+(t-s)- (4) 若st+1 Cov(y(t),y(s))=0-=- 由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关 故此过程为宽平稳的。 6，令z 和z是独立同分布的随机变量，P(z=-1)=P(z=1)=1/2 记x(t)=zcost+zsint, tR,试证：x(t)是宽平稳的，它是严平稳吗？ 证明：Ez=0, Ez=(-1) ?/2+1E?/2=1/2+1/2=1=D(z严) Cov(z,z)=0 Ex=0 cov(x,x)=E(x,x)=E(zcostcoss+zsintsins+zzcostsins+zzsintcoss) 故为宽平稳的。 P 而 P P 显然，x(t)与x(t+h)的分布不相等，故不是严平稳的。 7、试证：若为独立同