截个几何体.docVIP

2.3 截一个几何体 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，丰富数学活动经验，培养空间观念． 【学习重点】各类几何体截面的特征 【学习难点】截面图形的空间想象 1．截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面． 如图所示，阴影部分就是截面． 截面的理解 ①由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形．②截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关．③对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同．同一个几何体可能有多种不同形状的截面． 【例1】 下列关于截面的说法正确的是( )． A．截面是一个平面图形B．截面的形状与所截几何体无关 C．同一个几何体，截面只有一个D．同一个几何体，截面的形状都相同 解析：根据截面的定义“用一个平面去截几何体，截出的面叫做截面”可知，A是正确的；截面与几何体的形状有关，B是错误的；从不同的角度和方向去截同一个几何体，所得的截面一般不同，所以C，D是错误的．故选A. 答案：A 2.正方体的截面 正方体截面的形状： 如图所示，正方体的截面的形状可以是： (1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图①. (2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图②③④. (3)五边形，如图⑤. (4)六边形，如图⑥. 正方体中不同形状的截面的截法： (1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形． (2)图①中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形． (3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形． (4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截出梯形． (5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形． 【例2】 下列说法正确的是( )． ①正方体的截面可以是等边三角形 ②正方体不可能截出七边形 ③用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形 ④正方体的截面中边数最多的是六边形 A．①②③④ B．①②③C．①③④ D．①②④ 解析：过正方体三个不相邻顶点的截面是等边三角形，①正确；正方体只有六个面，所以最多与六个面相交，截面最多是六边形，②正确；当一个平面与四个平面相交时，截面也可能是长方形和梯形，③错误；正方体有六个面，当与六个面都相交时，截面是六边形，④正确． 答案：D 3．圆柱、圆锥、球的截面 (1)圆柱的截面 用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分． (2)圆锥的截面 用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分． (3)球体的截面 用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆． 【例3】 下列几何体的截面分别是__________、________、________、________. 解析：观察时要注意平面截几何体的方向和角度，找出它与几何体的几个面相交，同时注意截面是否与底面平行或垂直． 答案：圆 长方形 三角形 圆 4．根据截面判断几何体 (1)常见几何体截面的比较 常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体．棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱……其中以正方体为代表．各种几何体的截面如下表： (2)根据截面判断原几何体的方法： ①截面中有曲线，则原几何体一定有曲面．例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台． ②若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形．【例4－1】 一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )． A．圆柱和圆锥 B．球体和圆锥 C．球体和圆柱 D．正方体和圆锥 解析：球的截面只能是圆形；圆柱的截面可以是圆、长方形、椭圆和椭圆的一部分；正方体和圆锥都可以截出三角形，故选C. 答案：C 【例4－2】 一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)． 分析：本题考查由截面的形状判断几何体．用水平面截，所得截面都是圆，该几何体可能是圆柱、圆锥、球；用竖直的面去截，所得截面是长方形，该几何体可能是棱柱、圆柱、正方体、长方体．综合两个条件可得该几何体可能是圆柱． 解：这个几何体可能是圆柱． 点评：同一个几何体可能有多个不同的截面图形，只有综合考虑不同的截面图形，才能准确判断出几何体的形状．