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王国维——《人间词话》 复合函数求导 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 定积分的几何意义 三、牛顿—莱布尼茨公式 几何意义： 定理 3（微积分基本公式） 例1 求 例2 设 , 求 . 原式 解 解 思想：整体→分割（一组垂直于x轴直线） →小矩形面积近似表达小曲边梯形的面积→求和得整体近似值。当分割无限细密时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值。 （1）任取分点： 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 小区间 的长度记为 第 个小曲边梯形的面积记为 （2）在第 个小曲边梯形的底 上任取一点 它所对应的值是 （3）把n个小矩形面积相加得和式 即 （4）分割越细， 就越接近于曲边梯形的面积A，当最大的小区间长度越近于零，即 时，和式 的极限就是A，即 可见，曲边梯形的面积是一个和式的极限。 变速直线运动的路程 设一物体沿直线运动，已知速度 是时间区间[a,b]上t 的连续函数，且 ，求这物体在这段时间内所经过路 程。对于匀速直线运动：路程=速度×时间，现在速度是变量。 因此，所示路程S不能直接求，因在很短的一段时间里速度的 变化很小，近似于等速，仿照前例来计算路程S。 （1）任取分点： （2） （3） （4）当 时，和式 的极限就是路程S 的精确值，即 可见，变速直线运动的路程也是一个和式的极限。 变力的功 当力与物体移动方向一致时， 物体由位置 移到 的过程中，恒力F作功为 若力F是随位置变化 的，即F是S的函数：F=F（S） 则 Sa=S0 S1 S2 Sn=Sb F 在上述例子中，虽然所计算的量具有不同的实际意义，前者是几何量，后者是物理量，若抽去它们的实际意义，可以看出计算这些量的思想方法和步骤是相同的。 为了求整体量F，先把这个整体分割成n个部分量 ，在每一个小的部分上，以“直”代“曲”，或以“不变”代“变”，求得每个部分量的近似值 ，然后把这些值累加起来，就得到整体量的近似值，当把整体越分越细时，整体量的近似值也越来越接近于它的精确值。 定义：设函数 在区间[a,b]上有定义，任取分点 将区间[a,b]分成n个小区间 ，其长度为 在每个小区间上 任取一点 如果不论对区间[a,b]采取何种分法及 如何选取，当最大小区间的长度趋于零，和式极限存在，则此极限值叫做函 数 在区间[a,b]上的定积分。记作 即 [a,b]——积分区间 ——积分号； ——被积函数； ——被积表达式； ——积分变量； ——积分的下限与上限。 根据定义，以上几式可写作为： 和式极限直接求往往非常麻烦，可用牛顿—莱布尼兹公式去求。 （通过不定积分计算定积分！） 定积分的几何意义：在不同的实际问题中，积分 可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，它都表示由曲线 x轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积。 O x y A3 A1 A2 a c d b x y a b 总之，定积分的几何意义就是它的数值在几何上都可用曲边梯形面积的代数和来表示。 一、原函数与不定积分的概念 如果在区间 内，可导函数 的导函数为 即 都有 原函数： 那么函数 就称为 dF(x)=f(x)dx 或 在区间 内原函数. 不定积分： 在区间 内，函数 的带有任意常数项的原函数 称为 在区间 内的不定积分，记为 . I 或 F(x) f(x) f(x)dx I I I 任意常数 积分号 被积函数 被积表达式 积分变量 ① ② *