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试验3——产品抽样 在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取n 次（每次取一件产品），那么这 n次试验就不是 重复独立试验（此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品的概率也不相等）。 但是，如果采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的n次试验就是 重复独立试验。 第2章 一维随机变量 两点分布 特别，称n=1的二项分布为两点分布，其分布列为 定理2 若离散型随机变量ξ的分布律为 在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予服务的顾客个数； 炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数； 落在显微镜片上的某种细菌个数 由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布 设随机变量ξn服从二项分布B( n, pn ) (n=1,2, …)，其中概率pn与ｎ有关，并且满足 超几何分布 巴斯卡分布(或称负二项分布) 在“成功”概率是p的贝努利试验中，出现第r次成功时所作的试验次数?所服从的分布称为负巴斯卡分布(或称负二项分布). 连续型随机变量 均匀分布 设a、b为有限数，且ab。如果随机变量ξ分布密度为 例4 向区间(-1,1)均匀地投掷一随机点，以ξ表示随机点的落点坐标，试求关于t的二次方程 t2+3ξt+1=0 有实根的概率。 指数分布 正态分布 若随机变量ξ的分布密度 则称ξ在[a,b]上服从均匀分布，记作U(a，b) 均匀分布随机变量的分布函数为： 解: ξ在(－1,1)上服从均匀分布，其密度函数为 一维随机变量及其分布 分布函数 设ξ是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)=P{ω∣ξ(ω)x}称为随机变量ξ的分布函数，记作Fξ(x)或F(x)。 ξ 的分布函数也常简记为Fξ(x)= P{ξx} 分布函数的性质 任一随机变量ξ的分布函数F(x)，x∈(－∞，＋∞)，具有下列性质： (1)单调不减性 若x1x2，则 F(x1) ≤ F(x2) (2) 0≤F(x) ≤1 ，且 (3) 左连续性 对任意实数 x0 ，有 如某实函数具有上述3个性质，则它可作为某随机变量的分布函数 由分布函数，可以计算如下概率： 一维离散型随机变量 设离散型随机变量ξ的全部取值为x1,x2,…xn,…,且P(ξ=xi)=pi，i=1,2,… 则称上式为ξ的概率分布律。也可写作： 离散型随机变量的分布列 称为ξ的分布列 显然 退化分布 如随机变量ξ只取常数C，则称ξ服从退化分布。 显然 P(ξ=C)=1 退化分布也称为单点分布 二项分布 二项概率公式 设在一次试验中，事件Ａ出现的概率为p (0p1)，则在n重伯努利试验中，事件Ａ出现次数ξ的分布律为 随机变量ξ所服从的分布称为二项分布。 以ξ～B(n，p) 表示。 设ξ∽B(n,p)，令k0=Int[(n+1)p] 则k=k0时，b(k;n,p)的值最大。 若 (n+1)p为整数，则b(k0;n,p)= b(k0－1;n,p) 例已知发射一枚地对空导弹可“击中”来犯敌机的概率是0.96，问在同样条件下需发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999? 解 设需要发射n枚导弹，则击中敌机的导弹数是随机变量ξ～B（n，0.96） 由题意有P（ξ≥1）=1-(1-0.96)n 0.999 故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取n=3，即需要发射3枚导弹。 例2 （渔佬问题） 渔佬想知道自己承包的鱼塘中鱼的条数。 渔佬先从塘中网起100条鱼做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均匀）再从中网起80条，发现其中有记号者为2条，求鱼的总数N。 解 设80条鱼中有记号的鱼的条数为ξ，则ξ服从二项分布B(80，100/N)。 由定理2， 80条鱼中捞起的有记号的鱼最有可能是Int((n+1)p)条， 因此(80+1)×100/N=2 由此解得 N=4050（条） 其中λ0是常数，则称ξ服从参数为λ的泊松分布。记为ξ～P(λ) ，λ称为参数。 泊松分布 因为λ0 ，故有P(ξ=k)0 。(k=0,1,2, …) 即泊松分布的分布律，具备概率函数两性质。 在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分布。例如: 泊松定理 例 某商店由过去的销售记录表明，某种商品每月的销售件数可以用参数λ=7的泊松分布来描述，为了以0.999以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应进这种商品多少件？ 解：设该商店每月销售ξ件，月底进货为a件，则当ξ≤a 时，就不会脱销。根据ξ～P(7) 得 查表得 a+1