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第三章 空间问题的有限元方法 3.1 引言 许多工程实际问题，属于空间问题，由于结构形状或受力的复杂性，用经典弹性理论去求解它们的解析解是不可能的。而有限元法处理此类问题，原则上不存在什么困难，本章将介绍一般空间问题的四面体单元。 3.2 一般空间问题的有限元列式 3.2.1 单元位移模式及插值函数 空间问题中，每个单元有四个结点，编码为i,j,m,p。每个结点有3个位移分量。每个结点的位移可用位移矢量表示，即 单元结点的位移向量可表示为 为单元结点位移列阵。 假设单元内的位移模式选取一次多项式 （3.2.1） 由于四个结点也在单元内，满足位移模式，于是得 （3.2.2） 上式是关于的线性方程组。是待定常数，也称为广义坐标。它可由（3.2.2）式求出。上式的系数行列式是 （3.2.3） 上式中当i,j,m,p的编号顺序满足右手法则，V值为正，其大小为四面体体积，因此为了方便单元的编号一般满足右手法则。求得后,回代入位移模式得 (3.2.4) 式中 (3.2.5) （3.2.6） 上式下标轮换，可得,及。 同理,也可得到其它两式,于是得 （3.2.7） 其中 (3.2.8) 称为单元的插值函数或形函数，这里它是的一次函数，其中，,及是常数，由表达式可知，它完全由单元的大小和方位确定，一旦单元确定了，这些常数也完全确定。 （3.2.7）式的矩阵形式是 （3.2.9） 称为插值函数矩阵或形函数矩阵。 3.2.2．应变矩阵和应力矩阵 ⑴应变 确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力。在（1.4.21）式的几何方程中，位移用（2.2.11）式代入，得到单元应变为 （3.2.10） B称为应变矩阵。 应变矩阵的分块矩阵是 （3.2.11） 可以看出，应变矩阵B中的元素都是常量，从而单元中的应变都是常量，所以三维线性位移模式的四面体单元是常应变单元。 ⑵ 应力 单元应力可以根据物理方程求得， 其应力应变关系如下： 或 于是应力向量可表示为 （3.2.12） 式中D为弹性矩阵，而 （3.2.13） 从而可以到，三大物理参量，都可以用单元结点位移向量表示： 由于N，B，S都是已知的矩阵，只要求得，则单元内的位移、应变和应力就可以就得，问题是：如何求结点位移向量 3． 单元刚度矩阵和结点载荷向量 对于三维单元，单元刚度矩阵也具有上章所讨论的单元刚度矩阵的一般形式，即 （3.2.15） 写成分块矩阵的形式 （3.2.16） 每个子矩阵为 等效结点载荷 （3.2.17） 是单元等效结点载荷（体力和面力引起的等效结点力）， 是其他单元对该单元的作用力，则单元结点力为与和。 体积力的等效结点载荷： 面积力的等效结点载荷： 这里给出两种常见的载荷的等效结点力： ⅰ）均质单元的自重分配到四个结点的等效结点力，其数值都等于；ⅱ）设单元的某一边界面上，例如，受有线性分布载荷，它在三个结点处的强度分别为，则分配到结点i上的等效结点力的数值为 为受力面三角形面积。方向与原方向平行。 3.2.4．结构刚度矩阵和结构载荷列阵的集成 由单元分析可得有限元列式为 （3.2.18） 经叠加，组合，得有限元方程 其中 式中为扩大后的单元刚度矩阵；为扩大后的单元等效结点载荷；为结构系统的单元数。 7