次课(线性控制系统的能控性与能观测性).pptVIP

课前回顾 课前回顾 3.6 线性定常系统的结构分解 可得到如式（3-26）的能控标准形状态空间方程为 2、能观标准形 同样也可以通过设状态变量得到与能控标准形对偶的能观标准形，其表达式为： 实际上，控制系统的能控标准形和能观标准形通常简单地根据式（3-26）、式（3-29）与式（3-31）各参数的对应关系直接写出。 3.5.2 对角标准形或约当标准形实现 设 则有 例3-18 设 则有 设 则有 由 有 由以上各式可写出对角标准形状态空间方程为 例3-18是特征根各不相同时的解法，由于实际系统的特征根还存在有重根的情况，这里分别对这两种情况讨论一下系统对角标准形和约当标准形的实现问题。 一、系统的特征根互异 式中 为系统的互异极点（特征值）， 为待定系数。当系数 比较复杂时，可采用公式（3－33）来计算。 这时系统对应的对角标准形状态空间方程可写为 或 设有一个m重根 ，其余 是互异根。 二、系统的特征根具有重根 互异根对应的待定系数 可以由式（3-33）求出，重根对应的待定系数 采用公式（3-37）计算。 此时只能写出该系统如下形式的约当标准形状态空间方程 状态方程 输出方程 例3-19 已知系统传递函数为 写出其对角或约当标准形状态空间方程。 解：系统特征值 可化为约当标准形。 求出式中待定系数 则状态空间方程为 需要注意的是 这里讲的闭环传递函数的分母阶次小于分子阶次的情况（nm) 。如果分母阶次等于分子阶次时（ n=m），这时应做一次除法，将传递函数化为带分式的形式，再去求状态方程的表达式。 例3-20 已知系统传递函数为 写出其能控标准形状态空间方程。 解： 此时状态空间方程式带有关联矩阵 能控标准形为 3.5.3 最小实现 通常我们希望实现的维数越低越好。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。最小实现反映了系统最简单的结构，因此最具有工程意义。 定理3-18 传递函数 的一个实现 为最小实现的充要条件是： 不但能控而且能观。 一般而言，构造最小实现可按如下步骤进行： （1）按给定的系统传递函数阵先找出一种实现；通常，最方便的方法是选取能控标准形实现或能观标准形实现。 （2）对所得实现中，找出其完全能控且完全能观测部分，即为最小实现。 如果系统是不能控、不能观的，那么从结构上看，系统必然包括了能控、不能控和能观、不能观的子系统，因此可以采用线性变换的方法进行结构分解，找到能控或能观的子系统。 3.6.1 能控性结构分解 设不能控系统的动态方程为： 经非奇异变换 后，系统的动态方程可写 设能控性判别矩阵的秩为 ，选出其中 个线性无关列，再加任意 个线性无关列，构成非奇异变换阵 能控子系统动态方程为 不能控子系统动态方程为 非奇异变换阵 的求取 使 例3-21 对下列系统进行能控性分解。 能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控 [例]：考察如下系统的能观测性： 中， 阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。 定理 ：设线性系统 具有重特征值，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型： 说明：定理3说明 设2阶系统的约当标准型为： 则根据定理1有： 要使系统能观测，则必有： 即： 推广到n阶系统就有定理3： 3、判据三（PBH判别法 ） 线性定常连续系统，能观测的充分必要条件是 型矩阵 ，对A 的每一个特征值 之秩为n ，即 例3-9 判断下列系统的能观性 解：已知特征值为-2、-5 由于 的判别阵秩不为2，对故系统不能观测。 [例]：已知系统状态空间描述如下，试判断其能控性与能观测性 [解]：系统状态空间描述的矩阵形式为： 故系统为状态完全能观测 故系统不是状态完全能控 3.1.3 对偶性原理 线性定常系统1、2如下： 如果满足如下关系，则称两系统是互为对偶的： 一、线性定常系统的对偶关系 二、对偶系统的两个基本特征 1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。 2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。 三、对偶原理 设 和 是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于 的能观测性； 的能观测性