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关于概率为零与不可能事件的探讨 汕尾市田家炳中学 黄生祝 [内容摘要]：众所周知，一定会发生的事件是必然事件，其概率为1，一定不会 发生的事件是不可能事件，其概率为0．但是概率为0的事件一定是不可能事件 吗?针对概率为零和不可能事件之间的关系问题，本文主要通过几个实例介绍离 散型随机变量和连续型随机变量的一般性质，并详细分析当取单个值时，离散型 随机变量和连续型随机变量的本质区别，从而可以了解在不同情况下，概率为零 和不可能事件之间的联系。 [关键词]：离散 连续 单个值 趋向于零 概率为零 不可能事件 事件的概率是对事件发生的可能性大小的数量描述．概率值大，就意味着事 件发生的可能性大；概率值小，就意味着事件发生的可能性小；不可能发生的事 件（不可能事件）的概率为零．但是，假如一事件的概率为零，该事件就一定是 不可能事件吗？本文将从离散型随机变量和连续型随机变量对此问题进行一些 探讨。我们知道， 随机试验的每一个可能结果称为随机事件，把试验结果作为 自变量，这种变量的取值是带有偶然性的，是不确定的，于是把这种取值带有随 机性的变量称为随机变量，而离散型随机变量和连续型随机变量二者之间的区别 对于我们深入理解概率论中的重难点问题有着重要的意义。 一、离散型随机变量 从一个随机实验可能出现的结果来看，当随机变量可能取到的值是有限个或无 限可列个，这种变量称为离散型随机变量。例1：抛一枚硬币出去后，正面朝上 记作1，反面朝上记作0，设出现的结果用变量X表示，则X是离散型随机变量， X 的取值是有限的两种情况（0 和 1），概率均为 1/2。例 2：一个射手击中目标 的概率为 0.7,射手连续向目标射击，直到击中目标为止，设射手总的射击次数 用 Y 来表示，很明显，Y 也是一个离散型随机变量，Y 的取值是正整数，最小值 是 1，最大可以是无穷大，Y 的取值虽然是无穷的，但还可以一一列出来（无限 可列），从而取任一整数时的概率还可以列出，例如当 Y 取值为 20 时，即前面 19 次没有击中，第 20 次才击中，所以概率为 0.319*0.7，所以当 Y 取值为 i 时， 第 1 页 共 20 页 i-1 P（Y=i）=0.3 *0.7。 从这两个例子可以看出，离散型随机变量对于单个值都有相应的概率，例 1 中 X 除了 0 和 1 之外不存在第 3 个取值，例如当 X=4 时就是一个不可能事件，P （X=4）=0，例 2 中，Y 的取值必须是大于或者等于 1 的所有整数，除此之外没 有其他的情况，例如当Y=-1时就是一个不可能事件，P（Y=-1）=0。 通过这两个例子可以得出离散型随机变量的普遍结论：概率为零即意味着是不 可能事件，反过来当一个事件是不可能事件时，则该事件的概率必为零，即二者 之间是等价关系。 二、连续型随机变量 在一个随机实验中，当随机变量的取值不仅是无限可列多个，而是可以取到某 个区间[a,b]或全体实数R上的任一实数，这样的变量称为连续型随机变量。 例3：假设A地到B地的长途汽车每隔3个小时发一班车，某个人来到起点站 之前并不知道发车的时刻表，试问他等待的时间少于半小时的概率。 由于这位乘客预先不知道发车时刻表，他来到车站的时间是任意的，我们不妨 假定前一班车出发的时间为 t=0，那么后一班车的发车时间为 t=3，而该乘客在 （0,3）这一时间间隔内任一时刻来到的可能性是一样的，用 T 表示他等待的时 间，则 T 是一个连续型随机变量，T 可取（0,3）区间内的任一值，而且它取到 任一值的概率都是一样的。记“等待时间少于半小时”为事件C，它在什么情况 下才会发生呢？显然只有当该乘客在（2.5,3） 区间内到达车站，即当T取值于 （2.5,3）区间时，事件C才会发生，因此P（C）=0.5/3=1/6。 例4：设某地人们的体重W符合一个正 态分布（数学期望μ= 55，标准差σ=1 0）（单位：公斤），即W～N （55，100）， (密度函数如下图)试求任选一个人， X=55 Y? 他的体重在区间[45，65]中的概率。 在这个问题