高中数学第二章§332双曲线的简单性质应用创新演练北师大版选修11.docVIP

【三维设计】高中数学 第二章 §3 3.2 双曲线的简单性质应用创新演练 北师大版选修1-1 1．(2011·湖南高考)设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A．4　　　　　　　　　　B．3 C．2 D．1 解析：双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2. 答案：C 2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　) A．－ B．－4 C．4 D. 解析：双曲线标准方程为：y2－＝1， ∴a2＝1，b2＝－. 由题意b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－. 答案：A 3．(2012·福建高考)已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 解析：由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝. 答案：C 4．中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1,3)，离心率为的双曲线的标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：由离心率为，∴e2＝＝＝2，∴a＝b. 设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， ∴12－32＝λ，即λ＝－8， 故双曲线方程为－＝1. 答案：D 5．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 解析：椭圆焦点为(4,0)，(－4,0)，∴c＝4. 又e＝＝2，∴a＝2. ∴b2＝c2－a2＝12，∴b＝2. ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x. 答案：(－4,0)和(4,0)，y＝±x 6．双曲线＋＝1的离心率为e，e∈(1,2)，则k的取值范围是________． 解析：由题意k0，且a＝2，c＝， ∴12，解得－12k0. 答案：(－12,0) 7．根据以下条件，求双曲线的标准方程： (1)过P(3，－)，离心率为； (2)与椭圆＋＝1有公共焦点，且离心率e＝. 解：(1)若双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线方程为－＝1(a0，b0)． ∵e＝，∴＝2即a2＝b2.① 又过点P(3，－)有：－＝1，② 由①②得：a2＝b2＝4， 双曲线方程为－＝1， 若双曲线的焦点在y轴上， 设双曲线方程为－＝1(a0，b0)． 同理有：a2＝b2，① －＝1，② 由①②得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)． 综上，双曲线的标准方程为－＝1 (2)由椭圆方程＋＝1， 知长半轴a1＝3，短半轴b1＝2， 半焦距c1＝＝， 所以焦点是F1(－，0)，F2(，0)． 因此双曲线的焦点也为(－，0)和(，0)， 设双曲线方程为－＝1(a0，b0)． 由题设条件及双曲线的性质，有 解得 即双曲线方程为－y2＝1. 8．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，－)． (1)求双曲线方程； (2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0； (3)在(2)的条件下，求△F1MF2的面积． 解：(1)∵e＝， ∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x2－y2＝6. (2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝， ∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)， ∴k MF＝，k MF＝， kMF·kMF＝＝－. ∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3， 故k MF·k MF＝－1，∴MF1⊥MF2，∴·＝0. 法二：∵＝(－3－2，－m)， ＝(2－3，－m)， ∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2. ∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， ∴·＝0. (3)△F1MF2的底|F1F2|＝4， △F1MF2的高h＝|m|＝，∴S△FMF＝6. 1