高中數学解析几何.docVIP

19．（本小题共14分） 已知双曲线的离心率为，右准线方程为 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力． （Ⅰ）由题意，得，解得， ∴，∴所求双曲线的方程为. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得. 由及得， ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B， ∴，且， 设A、B， 则， ∵，且 ， . ∴ 的大小为. 【解法2】（Ⅰ）同解法1. （Ⅱ）点在圆上， 圆在点处的切线方程为， 化简得.由及得 ① ② ∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B， ∴，设A、B， 则， ∴，∴ 的大小为. （∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）. （20）（本题15分）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，轴（如图）。 （Ⅰ）求曲线C的方程； （Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。 本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分． （Ⅰ）解：设为上的点，则， 到直线的距离为．由题设得． 化简，得曲线的方程为． （Ⅱ）解法一： 设，直线，则 ，从而． 在中，因为 ，． 所以 . ， ． 当时，，从而所求直线方程为． 解法二：设，直线，则，从而 ．过垂直于的直线． 因为，所以， ． 当时，， 从而所求直线方程为． （22）．（本小题满分13分） 设椭圆过点，且着焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上 解 (1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为。 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2） 又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零。 且 又 四点共线，可设,于是 （1） （2） 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即点总在定直线上 19设抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O． 证明一：因为抛物线y2 =2px (p＞0)的焦点为F (，0)，所以经过点F的直线的方程可设为 ； ……4分 代入抛物线方程得 y2 －2pmy－p2 = 0， 若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2 = －p2． ……8分 因为BC∥x轴，且点c在准线x = －上，所以点c的坐标为（－，y2），故直线CO的斜率为 ． 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． ……12分 证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交于点N，则 ， ……6分 根据抛物线的几何性质，， ， ……8分 ∴ ， 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 （20）（本小题满分12分） 已知，椭圆C过点A，两个焦点为（-1，0），（1，0）。 求椭圆C的方程 E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 解： （Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去