七章二次型与二次曲面.pptVIP

的全部顺序主子式都大于0. 正定， 正定. 例9 判断 阶 矩阵 是否正定阵. . 解法1 顺序主子式： ， 正定. 解法2 求 的特征值. 得 的特征值为 全 . 故 正定. 2．矩阵（二次型）正定性的证明 例10 设 是 阶正定阵，证明 也正定. 证 因为 正定,所以 是实对称，即 ， 可逆， 也是实对称. 证1 用正定阵 全部特征值 . 已知 正定， 的 个特征值 都 . 又 的特征值为 都 , 正定. 证2 正定 实可逆阵 使 . 求逆 令 为实可逆阵，所以 正定. 例11 设 是 阶实对称阵，其中 正定, 试证当实数 充分大时， 也正定. 证 由 正定， 可逆阵 ，使 ，即 ，令 . 仍是对称阵，故 正交阵 ， 使 ，其中 是 的特征值. 正定（由Th7.3）. 当 时， 全 ， . 由Th7.3知 正定，从而 正定，（ 实对称显然）. 例12 设 为实 ，证明 是正定的 . 证 是实对称阵. 若 正定，则 . 又 . 设 ，则齐次方程组 只有0解. 对 ，有 ，设 . 由二次型定义知， 正定. ? 7.4 曲面与曲线 在3.3节已熟悉了平面和空间的直线与三元一次方程之间的关系，现在在前两节研究二次型的基础上，本节重点又从代数转向几何，主要是讨论二次曲面.与平面、直线一样，曲面和曲线也可以看成是满足某种条件的点的集合. 在坐标系下，这个条件表现为方程. 在空间直角坐标系下，若曲面和三元方程有下述关系：曲面上的任一点的坐标都满足方程；坐标满足方程的点都在曲面上，则称方程为曲面的方程，也称为方程的图形. 下面对几何特征很明显的几种常见的曲面和曲线建立它们的方程. 7.4.1 球面 已知球心在点 ，半径为 ，求该球面的方程. 在球面上，有 ，  该球面方程为