梯度與方向导数.docVIP

一 方向导数： （一）、方向导数的定义： 定义 设三元函数在点的某邻域内有定义 . 为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点 , 以表示与两点间的距离 . 若极限 存在 , 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数 , 记为 或 、. 对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 . 易见 、是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和 轴正向的方向导数 . 例1=. 求在点处沿方向的方向导数, 其中 （1） 为方向; （2） 为从点到点的方向. 解 （1） 为方向的射线为. 即 . , . 因此 , （2） 从点到点的方向的方向数为方向的射线为 . , ; . 因此 , （二）、 方向导数的计算: 定理: 若函数在点可微 , 则在点处沿任一方向的方向导数都存在 , 且 + +, 其中、和为的方向余弦. 对二元函数, +, 其中和是的方向角. 注: 由 + + =(, , ( ,, ), 可见 , 为向量, , 在方向上的投影. 例2 ( 上述例1 ) 解 （1） 的方向余弦为=, =, =. =1 , = , =. 因此 , = + +=. （2） 的方向余弦为 =, =, = . 因此 , =. 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 二 梯度 ( 陡度 ): （一）、梯度的定义: , , . |= . 易见 , 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影. （二）、 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 |. 其中是与夹角. 可见时取最大值 , 在的反方向取最小值 . （三）、梯度的运算: 1 . 2 (+) = +. 3 () = +. 4 . 5 () = . 证: 4 , . . 总结：的方向表示数量场在分三元沿此方向的方向导数达到最大；的模长就是这个最大的方向导数。