线性代数完美总结版.docVIP

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线性代数完美总结版

《线性代数及其应用》 一、行列式 1、余子式,代数余子式 2、几个定理(定理2.2,2.3,2.4) 按行展开: 按列展开: 定理2.4 ; . 3、行列式的性质 (1) . (2) 若行列式的某一列(行)可以拆成两列(行)之和,则行列式可以拆成两个行列式之和,即 . (2) 若行列式有两列(行)成比例,则行列式等于零. (3) 初等变换性质 4、行列式计算:三角化法(性质); 降阶法(性质+展开定理); 范德蒙德、三对角行列式的结论. 5、分块矩阵的行列式 二、矩阵 1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算) (1) 乘法的结合律 (2) 方阵的幂的求解 (3) 转置的性质: (4) 方阵的行列式: (5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14) 2、初等变换及初等矩阵 (1) 左行右列(矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示) (2) 初等矩阵都是可逆的,且初等矩阵的逆仍是初等矩阵,即 3、可逆矩阵 (1) 定义、性质 (2) 伴随矩阵 (3) 判定:可逆 (4) 逆矩阵的求法 (5) 分块矩阵的逆 (6) 矩阵方程的求解:,其中可逆. 法1 . 法2 . 4、矩阵的秩与矩阵的相抵 (1) 矩阵的秩与性质(101页,105-107页) ① ; ② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩; ③ ④ ; ⑤ ; ⑥ ; ⑦ 或; 若,则,其中,. ⑧ 设,则 (2) 求矩阵的秩 (理论依据:矩阵的初等变换不改变矩阵的秩) (行阶梯形矩阵), 则的非零行的个数. (3) 矩阵的相抵(等价) ① ② ,其中可逆. ③ 或. 三、线性空间 1、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4) (1) 证明方法-- (2) 基本结论 判断向量组线性相关(命题4.2,命题4.3(2),定理4.1及推论1,定理4.2) 充要:线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示. 充分:线性相关 判断向量组线性无关(命题4.3(3),命题4.4的推论) 2、等价向量组 (1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示,则(Ⅰ) (Ⅱ). (2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价,则(Ⅰ)(Ⅱ). 3、子空间的验证 (1) 非空、加法和数量乘法的封闭; (2) 命题4.1(生成子空间)--例4.9,例4.35 4、向量组的秩及极大无关组(命题4.6,定理4.4及推论2)、(线性)子空间的基与维数 (1) 写成列向量作初等行变换,确定向量组的秩与极大无关组. (2) 对于,则, 即生成子空间的维数 与基就是向量组的秩与极大无关组. 5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式 坐标:在基下的坐标. 基变换公式: 坐标变换公式: 或 四、线性方程组(含参量、不含参量) 1、解的情况 (1) 若是方阵,则 (2) 齐次线性方程组有非零解. 若是方阵,则齐次线性方程组有非零解. 2、解的结构 齐次: (1) 解空间、基础解系所含向量的个数 (2) 基础解系不唯一,的线性无关的解均可作为的一个基础解系. (2) 结构式:通解=基础解系的任意线性组合 非齐次: (1) 非-非=齐 (2) 结构式:通解=特解导出组的通解 五、线性变换 1、线性变换的验证 (定义5.4) 2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.8 3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理5.9 六、内积空间 1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关) 2、施密特正交化 3、正交矩阵 (1) 定义、性质; (2) 阶实矩阵是正交矩阵的充要条件是的列(行)向量组是的一个标准正交基. (命题6.2) 七、矩阵的相似对角形 1、特征值和特征向量的定义、性质 (1) ; (2) 与具有相同的特征值(特征向量未必相同); 已知 可逆) 矩阵 特征值 特征向量 (3) ;. (4) 属于不同特征值的特征向量线性无关(定理5.3、定理5.4及推论). 2、相似矩阵的定义、性质(秩、行列式、迹、特征值相等,但特征向量未必相同) 相似的判定:若与可对角化(实对称矩阵),且与具有相同的特征值,则与相似. 若与相似,则矩阵多项式与也相似. 3、矩阵的相似对角化 可对角化有个线性无关的特征向量 数域内有个特征值,每一个特征值的几何重数等于代数重数 (充分条件) 有个互不相同的特征值可对角化 4、实对称矩阵 (1) 特征值:阶实对称矩阵有个实特征值. (2) 特征向量:实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交. (3) 实对称矩阵必正交相似于实对角矩阵(几何重数等于代

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