线代讲义特征值与特征向量矩阵的对角化.docVIP

第四章 特征值与特征向量 矩阵的对角化 §4.1向量的内积 正交矩阵 1.向量的内积 定义4.1 设有n维向量和，那么是一个数，记为，称为向量与的内积，即 性质 设是n维向量，是一个数，那么 （1） （2） （3） （4） 定义4.2设有n维向量,称 为向量的模或长度。 当且仅当； 时称为单位向量。 定理4.1 柯西-施瓦茨不等式 对于任何的n维向量和，有成立。 定义4.3 设有n维向量和，称 为向量和的夹角。如果称向量和正交。 零向量与任何向量正交。 定义4.4 两两正交的单位向量组称为正交规范组。 定理4.2 如果是两两正交的非零向量，那么向量组线性无关。 反之不然。但是通过下面的方法，可以将一个线性无关的向量组化为两两正交的单位向量组。 设是一个线性无关的向量组， 令 … … 且与（）正交，那么 得到 所以 如果再将都化为单位向量，那么得到正交规范向量组： 这种方法就是格拉姆-施密特正交化规范化方法。 2.正交矩阵 定义4.5 如果n阶方阵满足 称为正交矩阵。 性质 如果A、B是正交矩阵，那么 （1）； （2）； （3）、、是正交矩阵； （4）AB是正交矩阵。 定义4.6 如果为正交矩阵，线性变换称为正交变换。 定理4.3 矩阵A为正交矩阵的充要条件是其行（列）向量组为正交规范组。 即： 例4.1 已知，，求一个非零向量，使得为正交向量组。 解 设与正交的向量为，那么有 即 其基础解系与向量正交。 例4.2求非零向量使之与成为两两正交的向量组。 解 设与正交的向量为，那么 这个齐次线性方程组的基础解系，与正交（当然的与任意线性组合也是与正交的向量）。但是，并非正交，下面将其正交化。 那么为正交向量组。 例4.3 已知为正交矩阵，求和。 解 由于A为正交矩阵，则其列向量组必为单位向量组，那么 A为正交矩阵时，其列向量组也必定是正交向量组 或者 §4.2 特征值和特征向量 1. 特征值和特征向量的定义 定义4.7 设A是一个n阶方阵，若存在数和非零的n维列向量x使得 则称数是矩阵A的特征值，非零向量x是矩阵A的对应于特征值的特征向量。 显然 是一个n元齐次线性方程组，并且有非零解（）。因此：。 是关于的n次多项式，称为特征多项式，称为特征方程， 在复数范围内有n个根。 2. 特征值和特征向量的求法 求解特征方程的根得到矩阵A的特征值；解齐次线性方程组求其非零解得到A的对应于的特征向量。 特别地，n阶单位矩阵的n个特征值都是1；对角矩阵对角线上n个元素就是它的特征值。 3．特征值和特征向量的性质 定理4.4 如果是矩阵A的特征值，则有： （1） （2） 推论 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其n个特征值都不是零。 定理4.5 n阶方阵A与其转置矩阵有相同的特征值（但特征向量一般不同）。 定理4.6 如果是矩阵A的特征值，则： （1）是的特征值； （2）是的特征值； （3）是的特征值（如果A可逆）。 定理4.7 矩阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。 下面我们给出三个方面的例题：求特征值和特征向量；利用特征值和特征向量计算；特征值和特征向量的有关证明。 例4.4 求下列矩阵的特征值和特征向量： （1） （2） 解（1）矩阵A的特征多项式 解特征方程得到特征值： 时，求齐次线性方程组的基础解系： 其同解方程，基础解系为， 所以，对应的全部特征向量为。 时，求齐次线性方程组的基础解系： 其同解方程组，基础解系为 所以，对应的全部特征向量为。 （2）矩阵B的特征多项式 解特征方程得到特征值：。 求齐次线性方程组的基础解系： 其同解方程组，基础解系为，得到全部特征向量为。 例4.5证明：矩阵与其转置矩阵有相同的特征值。 证明 由于 说明与有相同的特征多项式，因此有相同的特征值。 如果是可逆矩阵A的特征值，证明：是伴随矩阵的特征值。 证明 设是矩阵A的对应于的特征向量，那么有 两边同时左乘并且同乘数： 即： 根据定义，是的特征值。 特征值和特征向量的有关证明一般有两种方法：利用特征多项式或特征方程；利用定义。 上例中，证明特征多项式相同只能说明特征值相同，但不能说明特征向量相同；本例中，用定义不仅证明了是的特征值，而且说明了矩阵A的对应于的特征向量与的对应于的特征向量一样。 例4.7 如果是矩阵A的不同特征值对应的特征向量，证明不是矩阵A的特征向量。 证明 假设是矩阵A的对应于特征值的特征向量，根据定义有 由于分别是对应的特征向量，因此 所以 即 因为是不同特征值对应的特征向量，