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东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： B 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2011年 5月26日 试卷：共 3 页 题号 一 二 三 总分 得分 阅卷人 填空题：（每空2分，共30分） 1. 数字30的连通分支的个数是 2 ，数字9的连通分支的个数是 1 。 2．数字8的割点的个数是 1 。数字6的割点的个数是 无穷 。 3． 汉字“土” 的指数为1的点的个数为 5 ，指数为2的点的个数为 无穷 ，指数为3的点的个数为 1 ，指数为4的点的个数为 1 。 4．给实数集赋予欧式拓扑，则区间[0,1]的内部是 (0,1) ，导集是 [0,1] ，闭包是 [0,1] 。 5．设，写出所有拓扑 平凡拓扑 ， 离散拓扑 ， ， 。 二、问答题：（共30分） 1. 分别给出既开又闭既不开又不闭的集合的例子。（5分） 答：双曲线中每个连通分支都是既开又闭的集合。 （2分） ，取拓扑为，则{2}是既不开又不闭的集合。（5分） 注：例子不唯一，正确即可。 2. 叙述同胚映射的定义并给出一个不是同胚映射连续的满开映射。（5分） 答：定义：拓扑空间之间的一个连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也 是连续的。 （3分） 商映射在不是一一对应时是一个不是同胚映射连续的满开映射。 （5分） 注：例子不唯一，正确即可。 3. 叙述空间、空间、空间的定义并给出不是空间的例子以及不是空间的空间的例子。（10分） 答：设是拓扑空间，若对其中任意两点都存在其中一点的开邻域不包含另外一点，则称其为空间； （2分） 若对其中任意两点都存在每一点的开邻域不包含另外一点，则称其为空间；（4分） 若对其中任意两点都存在各自的开邻域使得这两个开邻域不相交，则称其为空间； （6分） 不少于两点的平凡空间不是空间； （8分） 给实数集赋予余有限拓扑，则它是空间，不是空间。 （10分） 注：例子不唯一，正确即可。 4.简述克莱因瓶的定义。（5分） 答：在单位正方形上定义等价关系： ，（x, 0）与（x, 1）等价 ，（0, y）与（1, 1-y）等价 则商空间称为克莱因瓶。 5. 谈谈你对拓扑学中商空间的思想的认识。（5分） 注：无唯一标准答案。 三、证明题：（任选4个小题，每小题10分，共40分） 1. 设是一个拓扑空间， ， 求证是开集当且仅当它是它的每个点的邻域。 证明：“”由邻域的定义，这是显然的。 （2分） “”，因为是的邻域，由邻域的定义， 存在开集，使得。 （5分） 所以。 所以 （8分） 因为开集的任意并集是开集，所以是开集。 （10分） 2.证明第二可数空间是可分空间。 证明：设是第二可数空间。为一组可数基。 （2分） ，取，则这些构成可数集合。 及的每一邻域，由于包含非空开集，从而包含中成员。（5分） 所以。 这说明。 （8分） 从而 （10分） 3. 设是紧空间到空间之间的连续满射，证明是商映射。 证明：由已知，是紧空间，是空间，是连续满射。 ，是闭集。由是紧空间，而紧空间的闭子集是紧的