届江苏省高考数学轮复习：专题向量与复数.docVIP

江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题8 向量与复数 回顾2008～2012年的考题，2008年第5题，2009年第2题、第15题，2010年第15题，2011年第10题，2012年第9题、第15题分别考查了向量的线性运算、坐标运算或数量积运算，属于中低档题；2008年第3题，2009年第1题，2010年第2题，2011年第3题，2012年第3题分别考察了复数的概念与四则运算，属容易题. 预测在2013年的高考题中： ?1?复数题依然是必考题，而且考查相对简单，在前3题； ?2?向量问题多以填空题的形式考查，也可能在解答题中以条件的形式出现.重点考查数量积的运算及应用. 1．(2012·江苏高考)设a，b∈R，a＋bi＝(i为虚数单位)，则a＋b＝________. 解析：∵a＋bi＝＝＝5＋3i， ∴a＝5，b＝3，故a＋b＝8. 答案：8 2.设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB＝3，AC＝6，则·＝________. 解析：·＝·＝· ＝·－||2＋ ·(－) ＝||2＝×45＝10. 答案：10 3．(2011·江苏高考)已知e1，e2是夹角为π的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为____． 解析：由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0， 即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0， 即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝. 答案： 4．(2012·扬州质检)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________． 解析：＝－＝(a－1,1)，＝(－b－1,2)． ∵A，B，C三点共线，∴∥. ∴2(a－1)＋(b＋1)＝0. ∴2a＋b＝1. ∴＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝8. 答案：8 5.如图，设点P是三角形ABC内一点(不包括边界)，且＝m ＋n ，m，n∈R，则m2＋(n－2)2的取值范围为________． 解析：因为点P是三角形ABC内一点(不包括边界)， 所以0m，n1,0m＋n1，根据线性规划的知识，作出如图阴影部分，m2＋(n－2)2表示点P(0,2)到阴影内点的距离的平方，显然到点A(0,1)的距离最近，为1；到点B(1,0)的距离最远，这时m2＋(n－2)2＝5，故所求取值范围为(1,5)． 答案：(1,5) 　　 若z是实系数方程x2＋2x＋p＝0的一个虚根，且|z|＝2，则p＝________. [解析]　设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)， 则a2＋b2＝4，且(a＋bi)2＋2(a＋bi)＋p＝0，得 解得p＝4. [答案]　4 利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化是处理复数问题的基本策略． 　　 设关于x的方程x2－(tan θ＋i)x－(2＋i)＝0有实根，求锐角θ及这个实根． 解：设实数根为a，则a2－(tan θ＋i)a－(2＋i)＝0，即 a2－atan θ－2－(a＋1)i＝0. ∵a，tan θ∈R， ∴ ∴a＝－1且tan θ＝1. 又0θ， ∴θ＝. 　　 如图，在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB＝EF＝1，CA＝CB＝2，若·＋·＝2，则与的夹角θ等于________． [解析]　因为△ABC中，CA＝CB＝2，AB＝1，所以cos∠CAB＝·＝，所以·＝. 又因为·＋·＝2， 所以·(＋)＋·(＋)＝2， 即1＋·＋＋·＝2， 所以·＋·＝. 因为＝－，所以－·＋·＝， 即 (－)＝， 所以·＝， 所以cos θ＝，故θ＝. [答案]　 本题中△ABC为确定的三角形，所以以，为基底，通过，与基底的关系，进行计算．这类问题比较难建立未知向量与基底向量之间的关系，本题中关键是利用条件·＋·＝2进行转化．另外本题也可以以B为原点建立直角坐标系，用坐标进行研究． 　　 (2012·江苏高考)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________． 解析：以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．设F(x,2) (0≤x≤)，由·＝?x＝?x＝1，所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝. 答案： 　　 如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________． [解析]　以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，建立直角坐标系． 设AB＝1，P(cos θ，sin θ)，θ∈， 则＝(1,1)，＝，＝(cos θ，sin θ)， 由