复数及复变函数.docVIP

复数及复变函数 §1. 复数 复数的基本概念 复数 形如的数称为复数；称x为复数的实部，记作；称y为复数的虚部，记作；称i为虚数单位，其中。 复数的相等与共轭复数 设， 称，当且仅当； 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 则不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小. 设，称复数为z的共轭复数，记作； 即：实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 重要公式： 复数的四则运算及算律 1. 复数的代数运算 设，规定： ； ； . 2. 算律： 交换律：； ; 结合律：； ; 分配律：. 3. 共轭复数的性质 (4) 复平面 称表示复数集合的平面为复平面, 复平面上的点或向量代表复数. §2. 复数的三角表示 复数的模与辐角 1. 模与辐角的概念 设,称为复数z的模，称复向量与x轴正向的夹角为复数z的辐角，记作Argz, 称满足的辐角为复数z的主辐角, 记作argz. 显然，复数z的模即为复向量的长度. 2. 模与辐角的性质 设,有 (1). (2). （斜边大于直角边） (3). (4). ; (5). . (6). argz= 问题 数轴上的复数的辐角怎样？ 说明 辐角不确定. 二. 复数的三角表示 设=r，Argz=， 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示为 称为复数z的三角表示. 三.复数的指数表示 设=r，Argz=，利用欧拉公式 复数可以表示为 称为复数z的指数表示. 求复数z=的三角表示. 例2 将复数化为三角形式. 复数的乘、除及乘方、开方运算 设：， 则：; 即：两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加. （公式说明：所得到的复向量就是把所对应的向量伸缩倍，然后再旋转角；反之亦然。） ; 即：两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. ; ; ; ; 从几何上看, 例3 用复数的三角形式计算. 用复数的三角形式计算. 解方程. 若n为自然数，且 其中，为实数，证明： §3. 平面点集的一般概念 开集与闭集 邻域 称满足不等式的全体z的集合为点的邻域（实心邻域）；称满足不等式的全体z的集合为点的邻域（去心邻域）,记作. 内点、外点、边界点 设G为点集，z为G的一个元素，若存在一个z的邻域，该邻域全部含于G内，则称z为G的内点； 设G为点集，z不属于G，若存在一个z的邻域，该邻域全部在G外，则称z为G的外点； 设G为点集，z为z平面上的一个点，若对z的任意邻域，该邻域内都既有元素既含于G内，又有元素不含于G内，则称z为G的边界点;点集G的所有边界点的集合称为G的边界. 开集与闭集 若点集G中的所有点均为G的内点，则称G为开集；开集的补集称为闭集. 有界集与无界集 若存在M0,使得有，则称G为有界集，否则，称G为无界集. 区域 若点集D满足条件： D为开集， D为连通的，则称D为区域. 即：区域就是连通的开集. 平面曲线 光滑曲线 若曲线在区间内处处有连续的导数，且满足 则称该曲线为光滑曲线. 光滑曲线具有连续转动的切线。 2.简单曲线（若当曲线） 若连续曲线在区间内没有重点，则称该曲线为简单曲线（若当曲线）；若该曲线的起点与终点重合，则称该曲线为简单闭曲线（若当闭曲线）. 3.若当定理 任意一条简单闭曲线C必将z平面惟一地分为C, I(C), E(C)为三个点集，它们具有如下性质： 彼此没有交集； I(C)为有界域，称为C的内部； E(C)为无界域，称为C的外部； 若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E (C)，则P必与C有交点。 §4. 无穷大与复球面 无穷远点 规定,称为无穷远点.且有运算: . 复平面加上无穷远点称为扩充复平面. 设M0,称满足不等式的全体复数的集合为无穷远点的邻域. 复球面 复球面上的点与扩充复平面上的点一一对应. §5. 复变函数 一.复变函数的概念 定义: 设G为z平面上的点集，若有对应法则f，使得对于G内的任意一个z，通过f，都有w平面上的一个点集内的一个或多个确定的点w与之对应，则称该法则f为定义在G内的一个复变函数；记作. 显然，复变函数的对应法则确定了以x，y为自变量的两个二元实函数 反