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第二章 通信网拓扑结构 通信网的拓扑结构是很基本，也是很重要的问题。拓扑结构是通信网规划和设计的第一层次问题。通信网的拓扑结构可以用图论的模型来代表，主要的问题为最短径和网络流量问题。本章还介绍了线性规划问题的基本概念和方法及网络优化结构模型。 §2.1图论基础 图论是应用数学的一个分支，本节介绍它的一些概念和结论。其基本内容可参见（1）和（2）。 2.1.1图的定义 例2.1 哥尼斯堡7桥问题; 所谓一个图，是指给了一个集合V，以及V中不同元素的序对集合E，V和E中的元素分别称为图的端点和边。 下面用集合论的术语给出图的定义： 设有集合V和E，V={v1，v2，……vn}， E={e1，e2，…… em} 则V和E组成图G，称V为端集，E为边集。 下面给出图的一些概念: 当eij=(vi，vj)e和端vi与vj关联； 当viRvj不等价于vjRvi 时，为有向图； 当viRvj等价于vjRvi (eij=eji)时，为无向图； 当V=φ(此时E必为空集) ，为空图； 自环，孤立点图，重边； 简单图: 不含环和重边的图称为简单图. 当V，EV∣，∣E∣≠∞时，称为有限图。我们一般讨论的都是有限图，考虑到实数集的不可数性，任何有限图都可以表示为三维空间的几何图形，使每两条边互不相交，而且边均可用直线来实现。但是若要在平面实现则不一定能办到，稍后我们会给出平面图的概念。 子图:若A的端集与边集分别为G的端集与边集的子集，则A为G的子图。若A(G，且A(G，则A为G的真子图。特别地，当A的端集和G的端集相等，称A为G的支撑子图。由端点子集诱导生成的子图. 图的运算: G1(G2, G1(G2, Gc等 图的几种表现形式: 集合论定义, 几何实现, 矩阵表示. 图的同构; 权图. 2.1.2图的连通性 对无向图的端vi来说，与该端关联的边数定义为该端的度数：，记为：d(vi)。对有向图：d+(vi)表示离开vi的边数，d-(vi)表示进入vi的边数 对图G=(V，E)|V|=n，|E|=m，则有如下基本性质： 1）若G是无向图 2）若G是有向图 下面定义图的边序列，链，道路，环和圈： 相邻二边有公共端的边的串序排列（有限） (v1，v2)，v2，v3)，v3，v4)，((vi，vj)，(link)；若边序列中没有重复端，称为道路(path)；若链的起点与终点重合，称之为环(ring)； 若道路的起点与终点重合,称之为圈(cycle)。 任何二端间至少存在一条径的图，为连通图。否则，就是非连通图。对非连通图来说，它被分为几个最大连通子图，即几个“部分”。“最大连通图”指的是在此图上再加任意一个属于原图而不属此图的元素，则此图成为非连通图，如下例: G=A(B(C=A+B+C 对于图的连通, 可以通过下面的方法给予准确的描述: 对于图G中的任意两个端点u和v, 如果存在一条从u到v的链, 称u和v有关系, 容易知道这是一个等价关系; 从而可以将图G做一个等价分类, 每一个等价分类就是一个连通分支.连通分支只有一个的图为连通图. 下面举一些图的例子: (1)完全图Kn：任何二端间有且只有一条边（即直通路由），称为完全图， 其边、端数之间存在固定关系: 下面是一个n=5的完全图 (2)正则图：所有端度数都相同的连通图为正则图 d(vi)=常数（i=1，2，(n） 正则图是连通性最均匀的图 (3)尤拉图(Euler): 端度数均为偶数的连通图为尤拉图。 尤拉图的性质: 尤拉图存在一个含所有的边且每边仅含一次的环. (4) 两部图 两部图的端点集合分为两个部分, 所有边的端点分别在这两个集合中. 完全两部图Km,n (5) 2.1.3树: 树是图论中一个很简单，但是又很重要的概念，在图论中运用是十分重要的。 图的定义有多种, 如下面的定义： 任何二端有径且只有一条径的图称为树。 无圈的连通图称为树. 我们采用第2种关于图的定义方式, 也就是: 树: 无圈的连通图称为树. 树有以下性质: 1.树是最小连通图，树中去一边则成为非连通图。 2.树中一定无环。任何二端有径的图是连通图，而只有一条径就不能有环。 3.树的边数m和端数n满足m=n-1 此式可以用数学归纳法证明。 4.除单点树，至少有两个度数为1的端(悬挂点)