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复指数法 复指数法是根据结构的自由振动响应或脉冲响应函数可以表示为复指数函数和的形式，然后用线性方法来确定未知参数。其主要思想是从振动微分方程的振型叠加法原理出发，建立动力响应与模态参数之间的关系表达式，通过对脉冲响应函数进行拟合可以得到完全的模态参数，获得了良好的拟合效果。基本方法是以Z变换因子中包含待识别的频率，构造Prony多项式，使其零点等于Z变换因子的值。这样，将求解Z变换因子转化为求解Prony多项式的系数。为了求解这一组系数，构造脉冲响应数据序列的自回归(AR)模型， 自回归系数即Prony多项式的系数，可以通过在不同起始位置从响应序列中提取数据，组成关于自回归系数的线性方程组，用伪逆法求得方程组的最小二乘解得到自回归系数。然后，采用高次代数方程的求解方法计算由自回归系数组成的Prony多项式的根，便可获得各阶模态频率和阻尼比。再由脉冲响应数据序列构造该测点各阶脉冲响应幅值(留数)的线性方程组，用最小二乘法求解，对各测点均作上述识别，便可获得各阶模态振型。 复指数法不依赖于模态参数的初始估计值。其优点在于将一个非线性拟合法问题变为线性问题来处理，带来了方便；而且为识别所需的复模态参数所需的原始数据较少。它的缺点在于为选择正确的模态阶数，要进行多次假定识别，才能确定正确的模态阶数，这也是很费时间的， 设一个多自由度的粘滞阻尼线性系统中由g点力引起户点位移频响函数的表达式为 (1) 式中：为第r阶模态相应的留数，与模态振型有关；N为系统的自由度数；j为虚数，即；符号*表示复数共轭；为频响函数第r阶模态的极点，与模态频率和阻尼比有关。 可表示为 (2) 式中：为固有频率；为阻尼比。 简化掉与公式推导无关的脚标，并令，，经整理后，式(1)可写成 (3) 对式(3)进行逆FFT，便获得相应的脉冲响应函数： (4) 式中：Re表示取复数的实部。 由于实测得到脉冲响应函数是离散时间序列，需要将其表达式做一些变更。设为离散数据的时间间隔，在时刻，脉冲响应函数可表示为 (5) 其中 式中：L+1为实测信号的脉冲响应函数的数据长度，且L+1比2N大得多。 将式(5)列成一个方程组的形式为 (6) 对于式(6)，的值是已知的，问题是如何求解和。求解的方法是将看作是一个具有实系数小(自回归系数)的2N阶的多项式方程的根，即 (7) 从式(7)可以看出，显然。为了求出系数，在式(6)的等号两边分别乘以，并将所有这些方程累加，可得 (8) 因为，并由于，式(8)可化为 (9) 为计算自回归系数，需要构造一个方程组，按每次取数时向后偏移一个的方式，依次从实测，中取2N+1个数据，代人式(9)，构成一组方程如下； (10) 其中 式(10)写成矩阵形式为 (11) 或缩写为 (12) 一般情况下，由于M2N，可采用伪逆法求方程组的最小二乘解，即 (13) 将得到，增加一个元素，并代人式(7)，得 (14) 求得由系数组成的多项式的根，并由此可求出模态频率，和阻尼比，即 (15) 然后，可以通过得到的，计算出每个测点的留数，将式(6)改写成 (16) 或简写成 (17) 振型向量可以通过对一系列响应测点求出的留数处理得到。对于一个有n个响应测点的结构，首先需要从n个对应同一阶模态的留数中找出绝对值最大的测点，假设该点是测点m，对应第走阶模态的归一化复振型向量可由下式求出： (18) 3