数理统计方法2-2.docVIP

§2.4 数理统计中几个常用的分布 下面介绍几个数理统计中常用的分布。 2.4.1 分布 定义2.1 若有相互独立，～，，则称 所服从的分布为自由度是 的 分布，记为 。 分布的概率密度为 分布的图像见图2-2 。 分布的概率密度有下列性质： （1） 当时，有 。 （2） 当时，有 。 （3） 当时，取到最大值。 定理2.2 如果 ～，则 。 证 因为 ～，根据 分布的定义，可以推知，必有相互独立，～，，使得 。 因为～，所以 ，，， 。 因此有 。 定理2.3 如果有 ～，～，相互独立，则 ～。即 分布具有可加性。 证 因为 ～，～，根据 分布的定义，可以推知，必有相互独立，～，，使得 ；必有 相互独立 ，～，，使得 。 因为 与 相互独立，所以 ， 相互独立。 这时 是个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和，由 分布的定义，可知 ～。 2.4.2 分布 定义2.2 若有～，～，相互独立，则称 所服从的分布为自由度是 的 分布，记为 。 分布的概率密度为 ， 。 分布的图像见图2-3 。 分布的概率密度有下列性质： （1） 关于左右对称。 （2） 当时，有 。 （3） 当时，取到最大值。 （4） 当时，，换句话说，时， 分布的极限就是 标准正态分布。 2.4.3 分布 定义2.3 若有 ～，～，相互独立，则称 所服从的分布为自由度是 的 分布，记为 。 分布的概率密度为 分布概率密度的图像见图2-4 。 分布的概率密度有下列性质： （1） 当时，有 。 （2） 当时，有 。 （3） 当 时，取到最大值。 定理2.4 如果 ～，则必有 ～ 。 证 因为 ～ ，由 分布的定义可知，必有 ～，～，相互独立，使得 。 这时 ，根据 分布的定义，立即可推知 ～ 。 §2.5 正态总体统计量的分布 在作统计推断时，往往需要知道统计量的分布，而统计量的分布又与总体的分布有关。在大多数实际问题中，可以认为或近似认为总体服从正态分布。服从正态分布的总体，称为正态总体。下面给出几个有关正态总体统计量分布的定理。 定理2.5 设（）是总体 ～ 的样本，是样本均值，则有 ～ ，即有 ～ 。 证 是的线性函数，而中的每一个都服从正态分布，而且相互独立，在概率论中，我们已经知道：相互独立的正态分布的线性组合仍为正态分布，因此，这里的服从正态分布。 由前面2.3节的定理2.1可知， ， ，所以有 ～ ，即有 ～ 。 为了证明下面的定理，先给出一些定义。 定义2.4 设是个随机变量。称 为维随机向量， 为的数学期望向量， 为的协方差矩阵。 定理2.6 设 为维随机向量， 为常数矩阵，则有 ， 。 证 因为 ，所以 。 。 。 定理2.7（Cochran定理） 设～,,相互独立，。其中，都是的线性组合的平方和，已知 的自由度为，。则 ～，，相互独立的充分必要条件是 。 说明 “的自由度”定义如下：如果是项线性组合的平方和，而这项线性组合又满足个相互独立的线性关系式，的自由度就是。 例如，，它是3项的平方和，但这3项又满足1个线性关系式：，所以，的自由度是。 又例如，。可以把看作是2项的平方和，但这2项又满足1个线性关系式：，所以，的自由度是。也可以把看作，它是1项的平方和，满足0个线性关系式，所以，的自由度是。尽管看法不同，的自由度始终保持不变。 证 先证明必要性。 因为 ～，相互独立，由分布的可加性可知～～,相互独立，由分布的定义可知～。 再证明充分性。 设已知有。 因为 是 的线性组合的平方和，自由度为 ，所以由矩阵理论可知， 是一个 的秩为的非负定二次型，可以表示为下列形式： ， 。 因此有 。 因为已知，所以是项的平方和，可以将（，）重新编号为。于是有 ，由此可见，从到的变换，是一个正交变换，即有 ，其中是正交阵，有。 因为～,相互独立，所以 ， 。 由定理2.6可知， ， 。 再加上 都是 的线性组合，都服从正态分布，所以有 ～,而且相互独立，即 ～，,而且相互独立。 所以，由分布定义可知，～，而且 相互独立。 定理2.8（Fisher引理） 设（）是总体 ～ 的样本，是样本均值，是样本方差，是修正样本方差，则有 （1）与（或与）相互独立 ； （2）～）是 ～ 的样本，所以～，～，相互独立。 。 其中，是项的平方和，但这项又满足1个线性关系式：，所以，的