圓锥曲线的光学性质及其性质.docVIP

圆锥曲线的光学性质及其性质 蔡 静 解析几何是用解析方法（代数方法）来处理几何问题，这并不意味着解析几何决不利用几何知识。相反地，解析几何是将数与形有机地结合起来，所以总是或多或少地利用了一些几何知识。在适当的地方应用几何知识，往往使演算大为简化，这也是解析几何的一个重要技巧。利用圆锥曲线的光学性质解题就是这类问题。 一、光学性质 椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后，反射都经过椭圆的另一个焦点。下面证明这个性质： 已知椭圆，经过左焦点的入射光线射到椭圆上的点，证明：反射光线经过右焦点 证明：设椭圆在点P处的切线是直线 由可得 则直线的斜率 由可得 所以 相应地，双曲线的光学性质：如果光源或声源放在双曲线的一个焦点F2处，光线或声波射到双曲线靠近F2的一支上，经过反射以后，就好象从另一个焦点F1处射出来一样。 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。 二、圆锥曲线的光学性质的应用 例1、P为椭圆上一点，过中心O作直线与P处的切线平行，交于Q，求证：（为一个焦点，与在短轴的同测，如图） 证：设另一个焦点为，连结交OQ于S，过作QS的平行线交PQ于R，由光学性质 所以， 又O是的中点，所以 所以 所以 例2、设椭圆长轴为，自焦点向切线PT引垂线，垂足为T，证明：T在以为直径的圆上。 证明：延长至，使 则 与 全等 由光学性质 所以 、P、 共线 即 T在以为直径的圆上。 （责任编辑：侯燕庭） ◆科研之窗——圆锥曲线的光学性质及其性质 ◆科研之窗——圆锥曲线的光学性质及其性质