初等矩阵与初等变换.pptVIP

华南农业大学理学院应用数学系 多媒体教学课件 1.2 初等变换与初等矩阵 1.2.1 初等变换 1.2.2 初等矩阵及其性质 1.2.3 初等变换与逆矩阵 m个方程， n个未知数 对此线性方程组,可做如下三种同解变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍. 这三种变换都称为初等变换. 这三种变换都是可逆的 1.2.1 初等变换 定理1.1 设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组, 则新方程组与原方程组同解. (P10) 例 解线性方程组 一一对应 方程之间的变换 一一对应 矩阵的行之间的变换 方程组的增广矩阵 定义 下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换: 交换矩阵的两行（列）; 以任意非零数λ乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素; 某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列）的对应元素上去。 矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。 定义 若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则称矩阵A与B等价（equation），记为 A B 行变换 Row 列变换 Column 交换i, j两行 第 i 行乘数K 第 i行乘数K后加到第 j 行上去 交换i, j两列 第 i 列乘数K 第 i 列乘数K后加到第 j 列上去 矩阵初等变换的符号表示 第j行变 第j列变 第i行变 第i、j行变 第i列变 第i、j列变 例 利用矩阵的行初等变换解方程组 解 将方程组的增广矩阵作行初等变换 续解 得同解方程组 原方程组的解为 1.2.2 初等矩阵及其性质 定义 由单位阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 初等矩阵有三种类型: (1) 对调E中的第 i, j 行,得到的矩阵记为 对调E中的第 i, j 列,得到的矩阵记为 (2) 用不为零的数λ乘以E中的第i行,得到的矩阵记为 用不为零的数λ乘以E中的第 i 列,得到的矩阵记为 (3) 以数λ乘以E中的第i行加到第j行去,得到的矩阵记为 以数λ乘以E中的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为 注意！ 结论：初等矩阵可逆, 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵 性质1.5 用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该矩阵作相应的初等列变换. 例 定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. 用初等矩阵左乘(右乘)一个矩阵, 相当于对该矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一行(列)的初等变换, 即 （１） （２） （３） 例 我们将第一行和第三行交换一下, 可以用 而得到. 例 我们将第二列和第三列交换一下, 可以用 而得到. 同学们可以验证一下. 验证 i行 i行 j行 j行 验证 i列 j列 i列 j列 （２） （３） 用初等矩阵左乘(右乘)一个矩阵, 相当于对该矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一行(列)的初等变换, 即 例 思考: 我们将第二列的3倍加到第四列上, 可以用？ 而得到. 同学们可以验证一下. ●小结 矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式子成立： （1） （2） （3） 证明 …… 定理1.3 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵E，即可逆矩阵A与单位矩阵E等价.