创新设计2011第五__平面向量522.pptVIP

1．平行向量(共线向量) 方向相同或相反的向量，称为平行向量．记作a∥b.由于向量可以进行任意 的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称 为 ． 2．向量共线的充要条件 如果向量a为非零向量，那么向量b与向量a共线?有且只有一个实数λ，使 得b＝λa. 3．平面向量的基本定理 如果e1，e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2使：a＝λ1e1＋λ2e2.其中不共线的向量e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的 ． 1．a＝λb(λ∈R)是a∥b的(　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 2．若a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ、μ∈R)，则一定有(　　) A．a＝b＝0 B．λ＝μ＝0 C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0 答案：B 3．如右图， ，则向量 ＝________. 答案：2b－a 解析：如右图， 在△OCD中，∠COD＝30°，∠OCD＝∠COB＝90°， 可求| |＝4，同理可求| |＝2，∴λ＝4，μ＝2， λ＋μ＝6. 答案：6 1. 利用向量共线的充要条件可解决平面几何中的三点共线和平行等问题，在 证明A、B、C三点共线时，只需证明即可． 2．由a＝λb?a∥b就是数形结合思想方法的具体体现． 解答：(1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3a－3b， ∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB， ∴AB与BD共线，又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb， ∴(k－λ)a＝(λk－1)b， ∵a、b是不共线的两向量， ∴k－λ＝λk－1＝0， ∴k＝±1. 变式1. 若非零向量a，b,3a－2b的起点相同，试证其终点在同一直线上． 证明：设OA＝a，OB＝b，OC＝3a－2b，则AB＝OB－OA＝b－a， BC＝OC－OB＝3a－3b＝－3AB， ∴BC∥AB.又它们有公共点B，因此A、B、C三点共线. 1. 对于平面向量的基本定理可类比共线向量的充要条件进行学习、理解掌握； 2．平面向量的基本定理是将平面几何问题转化为向量问题的理论基础，可 通过适当地选取基底，将平面几何中的条件和结论用向量表示，从而通过 向量运算完成平面几何中的证明或计算问题． 【例2】 若a，b为不共线向量， (1)试证2a－b,2a＋b为平面向量的一组基底；(2)试用2a－b,2a＋b表示3a－b. 解答：(1)证明：∵a，b不共线，则2a＋b≠0，假设2a－b∥2a＋b，则2a－b ＝λ(2a＋b)， 整理得：(2－2λ)a＝(λ＋1)b，∴a∥b，则与a，b不共线矛盾．∴2a－b与 2a＋b不平行，为平面向量的一组基底． 　 例如可以通过向量证明△ABC的三条中线AD、BE、CF相交于同一点G，可通过取基底AB＝a，AC＝b，利用A、G、D三点共线和B、G、E三点共线，准确确定点G的具体位置． 解答：设CA＝a，CB＝b，AP＝AB＋BP＝AB＋λBN＝AB＋λ(BC＋CN) ①×②整理得m＋n＝2. 答案：2 【方法规律】 1．向量平行的充要条件是建立向量的坐标及其运算的理论依据；平面向量的基本定理是平面向量坐标表示的基础． 2．利用平面向量的基本定理，可将几何问题转化为向量问题，其具体过程大致为： (本题满分4分)如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)，且OP＝xOA＋yOB，则实数对(x，y)可以是(　　) 【分析点评】 1. 考题立意新颖，非常深刻全面地考查了向量共线、三点共线，以及向量的 加 法、减法和数乘运算．突出了平面向量基本定理在向量一章中的核心 位置， 是值得关注的一个动向． 2．本考题还可探究，当x，y满足什么条件时，点P在阴影区域之内. 第22课时 共线向量 平面向量基本定理 共线向量 一组基底 4. 如右图，平面内有