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第四章 高阶微分方程 [教学目标] 1. 理解高阶线性微分方程的一般理论齐次非齐次线性方程解的性质与结构常系数齐次线性方程非齐次线性方程常系数非齐次线性方程欧拉方程高阶方程的降阶法和幂级数解法线性方程解的性质与结构高阶方程的 线性微分方程的一般理论齐次线性方程解的性质与结构，非齐次线性方程常数变量易法常系数线性方程与欧拉方程，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法高阶方程的降阶法和幂级数解法 [考核目标] 1.理解高阶线性微分方程的一般理论常系数线性方程非齐次线性方程常系数非齐次线性方程高阶方程的降阶法和幂级数解法  §4.1线性微分方程的一般理论 4.1.1引言 讨论阶线性微分方程 （4.1） 其中及都是区间上的连续函数 如果，则方程（4.1）变为： （4.2） 称它为阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。 定理1 如果及都是区间上的连续函数，则对于任一 ，方程（4.1）存在唯一解，定义于区间上，且满足初始条件： （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有及连续的整个区间上有定义。 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程 （4.2） 定理2（叠加原理）如果是方程（4.2）的个解，则它们的线性组合也是（4.2）的解，这里是任意常数。 特别地，当时，即方程（4.2）有解 （4.4） 它含有个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基行列式等概念。 设是定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数，使得恒等式 对于所有都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。 由此定义不难推出如下的两个结论： 1)在函数组中如果有一个函数为零，则在上线性相关. 2)如果两个函数之比在有定义，则它们在上线性无关等价于比式在上不恒等于常数. 例1函数组在任意区间上都是线性无关的. 解 比式=不恒等于常数在任意区间上成立： 例2函数组在区间上线性相关. 解 若取则故已知函数组在上线性相关. 设函数在区间上均有阶导数,行列式 称为这些函数的伏朗斯基行列式。 定理3 若函数在区间上线性相关，则在上它们的伏朗斯基行列式。 证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数，使得 （4.6） 依次对微分此恒等式，得到 （4.7） 把（4.6）和（4.7）看成关于的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就是，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即 。 反之，其逆定理一般不成立。 例如函数 和 在区间上，，但在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式 （4.8） 则当时，可知；当时，可知.即当且仅当时，(4.8)式对一切成立.故是线性无关的. 推论1 如果函数组的朗斯基行列式在区间上某一点处不等于零，即，则该函数组在上线性无关. 但是，如果是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理： 定理4 如果方程（4.2）的解在区间上线性无关，则在这个区间的任何点上都不等于零，即 。 证明：采用反证法。设有某个，，使得。考虑关于的齐次线性代数方程组 （4.9） 其系数行列式，故（4.9）有非零解。现以这组常数构造函数 根据叠加原理，是方程（4.2）的解。注意到（4.9），知道这个解满足初始条件 （4.10） 但是显然也是方程（4.2）的满足初始条件（4.10）的解。由解的唯一性，即知 ，即 因为不全为0，这就与线