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在 点可微，则 在点 的 法向量为 切面方程为 法线方程为 （3）方向导数 1）定义： 为平面上以点 为起点， 为方向向量的射 线，将 限制在 上，则 若 存在，则称之为函数 在 在 点沿射线 方向的方向导数，记为 3）计算公式 如果函数 可微分，那么函数在该点沿任何方向 方向导数存在，且有 的 其中 是 方向的方向余弦。 对于三元函数 有类似的定义。 如果 在 点可微分，则函数在该点沿方向 的方向导数为 （4）梯度 1）定义： 设 在平面区域D内具有一阶连续偏导数，对于每一点 ，向量 ，称为 在点 的梯度， 记为 ，即 对于具有连续偏导数的三元函数 ，在其定义区域内的每一点 其梯度向量为 2）方向导数与梯度的关系 沿着梯度的方向，方向导数最大，且最大值为梯度的模 （5）二元函数的泰勒公式 设 在点 的某一邻域内连续，且具有三阶的连续偏导数， 为邻域内任一点，则有 此公式为二元函数 在点 处的带有拉格朗日型余项的二阶 泰勒公式 2记忆方法 （1）空间曲线的切线与法平面的关键是记住切向量 （2）曲平面的切平面与法线的关键是记住法向量 （3）方向导数公式： （4）梯度公式： 【例7.16】 设 在 附近有定义且 则（ ） （A） （B） 曲面 在 法向量为 （C） 曲线 在点 的切向量 为 （D） 曲线 在点 的切向量为 解析： 题目仅设函数 在点 附近有定义及 未设 在点 可微，也没设 ，所以谈不上 因此即可排除（A） 令 则有 因此过点 的法向量 可排除（B） 曲线 可表示为参数形式： 在点 的切向 量为 故正确选项为（C） 【例7.17】 设函数 在 处沿方向角为 的方向的方向导数为__________ 解析： 因为 所以 所以， 典型例题 【例７．１０】 讨论函数 在 点的连续性，偏导数的存 在性，可微性。 解析： 不存在 所以不可微 【例７.１１】 求下列偏导数 （１） 求 （２） 设 其中 具有二阶连续偏导数，求 （３） 设 ， 具有二阶导数， 具有二阶导数，求 解析: （１） （２） * 海文考研 高级学员VIP课程 * 高级学员VIP课程 （数学—公共课VIP精讲课程） 太原 分校 张国俭 多元函数微分法及其应用 (一)多元函数,极限,连续性 多元函数的概念 1)定义: 设 D 是平面上的一个非空子集, 称映射 为定义 D 在 上的二元函数,记 为 ，其中点集D称为函数 的定义域。 称为函数的值域。 集合 类似可定义三元函数 2)几何意义： 二元函数 表示空间曲面 例如 的图形为旋转抛物面； 的图形为上半球面。 （2）二元函数的极限 1）定义： 在 设 的去心邻域有定义， 若对任意 存在 ， ，使得当 时，有 ， 则称 A为函数 当 时的极限， 记为 注： ①二元函数的极限只有当动点 趋于 时 的极限 都为A时才存在。 ②若可找到两条不同路径沿 趋于 时 的极限不相等， 则二元函数的极 限不存在。特别， 当 =（0,0）时选择 若极限与k有关， 则二元函数的极限不存在。 ③即使沿着 函数的极限存在也相等也不能说明二元函数的极限 是存在的。 2）计算（可借助一元函数求极限的方法球二元函数的极限） （3）多元函数的连续性 1）定义： 设二元函数 在 的邻域有定义， 若 则称 在点 连续。 如果函数 在 D 的每一点都连续， 则称函数 在D上连续， 或者说 是D上的连续函数。 2）多元函数在有界闭区域上的性质 ①有界性：在有界闭区域D上连续的多元函数必定在D上有界。 ②最大值与最小值定理： 在有界闭区域D上连续的多元函数 必定在D上 取得最大值和最小值。 ③介值定理： 有界闭区域D上连续的多元函数必取得介于最大值和最 小值之间的任何值。 3）二元初等函数在定义区域内连续。 2.记忆方法： 二元函数连续性与一元函数的连续性在定义和闭区域上 的性质是十分相 似的。 定义——极限值等于函数值；性质——有界性， 存在最大值和最小值，介值定理。 【例7.1】 证明 不存在 解析： 因为 与k有关 故 不存在。 【例7.2】 证明： 不存在。 解析： 但 故 不存在。 【例7.3】 求 解析： 所以，由夹逼法则知 （二）多元函数的偏导数 （1）偏导数的概念 1）定义： 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果 存在，则称此极限为函数 在点 处对x的