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第十三章 应力状态分析 山西农业大学工学院 第 13 章 应力状态分析 (1) 基本概念，描述方法及其分类(回顾） 主平面 无切应力，只有正应力的平面。 (b) 平面（二向）应力状态有两个主应力不为零。 6. 平面（二向）应力状态分析 (2) 求最大、最小正应力及其方位—主应力及主方向 (3) 问题： 为什么上式的正应力为极值正应力? 两个主方向与两个主应力的对应关系？ (4) 主平面·主应力·主方向 (3) 正应力极值： s1 s2 右图为平面应力状态的应力图，s3=0。 5. 点的应力状态分析 描述方法：单元体法，即三个方向均为无穷小的立方体 特点： 每个面上应力均匀分布，相互平行的一对面上应力相等，且等于杆件相应截面上该点的应力。 (2) 点的应力状态分类 正应力—拉为正，压为负，切应力—从坐标轴正向看，绕单元体内任意点顺时针转时为正，反之为负。 主应力 主平面上的正应力。 ?1 ? ?2 ??3 对任一点必存在三个相互垂直的主平面及相应的主应力，约定三个主应力按代数值大小排序。 应力符号规定： (c) 空间（三向）应力状态三个主应力均不为零。 (a) 单向应力状态：只有一个主应力不为零。 分类 已知:单元体各面应力大小，求任一斜截面上的应力。由平衡方程 (1) 另一主应力为零。 得 令 (4) 图示纯剪切应力状态，试求主应力及主方向。 (5) 常见的平面应力状态 应力圆如右图。 问题:在基本变形中, 杆件内那些点为上述应力状态？根据上述结果可以确定三个主应力的顺序吗? §13-3 平面应力状态下的胡克定律 各向同性材料在平面应力状态下，当变形微小时，线应变只与该点处的正应力相关，而与切应力无关。在线弹性且变形微小时，可将任意的平面应力状态看作两个单向应力状态和一个纯剪切应力状态的叠加。 平面应力状态下的应变： 上式即为平面应力状态下的胡克定律。 平面应力状态下的胡克定律的另一表达式： 注意：sz = 0，但ez≠0。 已知|ea |+|eb |= 400?10-6 ，E=200 ?109Pa，n =0.25，外径D =120 mm，内径d =80 mm，求M。 解： 例题 13－1 ? = ? 例题 13－1 例题 13－1 根据胡克定律： 平面应力状态下由测点处的线应变求应力 一般地说，要确定一点处的平面应力状态，必须测定三个方向的线应变；只有在确切知道该点处两个不为零的主应力之方向的情况下，才只需测定这两个主应力方向的线应变。 §13-4 三向应力状态 ?1 ? ?2 ??3 平面应力状态（三向应力状态的特例） 三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力均不为零。 单向应力状态（三向应力状态的特例） 平面应力状态 应力圆表达了与主应力为零的面相垂直的诸截面上应力情况。事实上即使那个面上的主应力不为零而单元体处于三向应力状态时，因为平行于该主应力的那组截面上的应力不受它的影响，而按平面应力状态绘出的通过表示主 应力s1、s2的点A1 A2之应 力圆，仍然表示那组截面 上的应力情况，即代表平 行于该主应力的诸截面上 应力的情况。 可以证明，代表不平行于任一主应力的任意斜截面上的应力的点必定落在三个以主应力作出的应力圆之间。即图中代表abc截面上的应力s 和t 的D点，必定落在三个应力圆所围成的阴影范围内。在s-t直角坐标系内，代表单 元体任何截面上应力的点， 必定在三个应力圆的圆周 上以及由它所围成的阴影 范围以内。 三向应力状态 三向应力状态 1. 最大切应力 作用在平行于主应力s2且自s1作用面逆时针转45°的面上，它使分离体有顺时针转动的趋势。 2. 胡克定律 各向同性材料在三向应力状态下的胡克定律，称为广义胡克定律，对线弹性，小变形，由叠加原理有: 3. 各向同性材料的体应变 材料受力而变形时其体积的相对变化称为体应变q。 取三个边长分别为a1、a2、a3的单元体，它在受力而变形后边长分别为a1(1+e1)，a2(1+e2)，a3(1+e3)，故体应变为 * 工程力学教程电子教案 应力状态分析 * * * 工程力学教程电子教案 应力状态分析 §13-1 概 述 §13-2 平面应力状态分析 §13-4 三向应力状态 §13-3 平面应力状态下的胡克定律 §13-1 概 述 1. 应力状态的概念 应力状态 ： 过一点所有各方向截面上的应力全部情况称为该点的应力状态。 应力状态分析 ： 分析一点的应力随截面方位改变而变化的规律