二十世纪的数学(课件).pptVIP

二十世纪的数学 概述： 1.二十世纪初，数学发生巨大的变化，其高度抽象性、严密逻辑性和广泛应用型愈来愈突出地显示出来； 2.向着高度分化的方向发展，分化出非常多的分支学科； 3.向着高度综合的方向发展，出现将数学各部分统一起来的种种新观点和新方案； 4.各门自然学科从定性研究过渡到定量研究，愈发需要利用数学这一强大分析工具，数学本身的发展也就有了更充足的动力。 二十世纪的数学 分为两大节 第一节、纯粹数学 第二节、应用数学与计算机科学 第一节、纯粹数学 一、涵义 相对于应用数学而言，纯粹数学是一门专门研究数学本身，不以应用为目的的学问。 纯粹数学以数论为其代表。 纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，研究数学本身的规律。 它大体上分为三大类， 1、研究空间形式的几何类（微分几何、拓扑学） 2、研究离散系统的代数类（数论、近世代数） 3、研究连续现象的分析类（微分方程、函数论、泛函分析） 第一节、纯粹数学 二、纯粹数学的研究领域 一方面，从更高的抽象上说，发展了 1、实变函数与泛函分析 2、抽象代数 3、拓扑学 4、公理化概率论 另一方面，从更高的统一化上说，发展了 1、微分拓扑与代数拓扑 2、整体微分几何 3、其他学科的融合 第一节、纯粹数学 三、纯粹数学发展研究的序幕——希尔伯特问题 1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名演讲。希尔伯特整个演说的主体，是根据19世纪数学成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。 希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决，有些问题虽未最后解决，但也取得了重要进展。希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学分支的发展，有些问题的研究还促进了现代计算机理论的成长。 第一节、纯粹数学 四、集合论的发展史 1、集合论概念 所谓集合论，是研究集合（由一堆抽象物件构成的整体）的数学理论，包含了集合、元素和成员关系等最基本的数学概念。在大多数现代数学的公式化中，集合论提供了要如何描述数学物件的语言。 第一节、纯粹数学 四、集合论的发展史 1、集合论概念 集合论是从一个物件o和集合A之间的二元关系开始：若o是A的元素，可表示为o ∈ A。由于集合也是一个物件，因此上述关系也可以用在集合和集合的关系。 另外一种二个集合之间的关系，称为包含关系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，则称集合A为B的子集，符号为A ? B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定义，任一个集合也是本身的子集。 第一节、纯粹数学 2、集合论的发展 德国数学家康托尔（1845-1918）创立了集合论，扩充了数学概念，成为数学的重要基础。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上。 1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称，借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦，我们可以说绝对的严格性已经达到了。 第一节、纯粹数学 2、集合论的发展 随后的研究中，数学家们在集合论中纷纷发现了逻辑矛盾，集合论是有漏洞的！ 1902年英国哲学家、数学家罗素在集合论概括原则的基础上引出了著名的罗素悖论。 问题涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。严重冲击着数学基础的研究，导致了“第一次数学危机”。 第一节、纯粹数学 2、集合论的发展 罗素悖论——理发师悖论 某个城市有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人很多，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，你们看，他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸；而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 第一节、纯粹数学 2、集合论的发展 理发