第二单元 时间序列分析的基本概念.pptVIP

第二章 时间序列分析的基本概念 第一节 随机过程 我们所要讨论的时间序列分析，只是对平稳序序列及其有关的随机序列进行统计分析，而不是对所有的随机序列进行统计分析。 第二节 平稳时间序列 一、两种不同的平稳性定义 二、时间序列的分布、均值和协方差函数 三、平稳序列的自协方差和自相关函数 四、白噪声序列和独立同分布序列 五、独立增量随机过程、二阶矩过程 六、线性平稳序列 七、偏自相关函数 一、两种不同的平稳性定义 1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值t1t2…tn，此序列中的随机变量Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关，即有： Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s) 则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称为狭义平稳或强平稳过程。 此定义表明，严平稳的概率分布与时间的平移无关。 一般来说，若所研究的随机过程，前后的环境和主要条件都不随时间变化，就可以认为它是平稳随机过程。 2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二阶矩，且Xt满足如下两个条件： 3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别 区别： （1）严平稳的概率分布随时间的平移而不变，宽平稳序列的均值和自协方差随时间的平移而不变。 （2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序列；一个宽平稳序列也不一定是严平稳序列。 联系： （1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序列。 （2）若时间序列为正态序列（即它的任何有限维分布都是正态分布），那么该序列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等价的。 注：由于在实际中严平稳序列的条件非常难以满足，我们研究的通常是宽平稳序列，在以后讨论中，若不作特别说明，平稳序列即指宽平稳序列。 二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布 随机过程是一族随机变量，类似于随机变量，可以定义随机过程的概率分布函数和概率密度函数。它们都是两个变量t,x的函数。 如：时间序列的所有一维分布是： 若给定时刻ti，随机过程就是一维随机变量X（ti)。事件x(ti)=x的概率为 F-1(X-1)，F-2(X-2)，F0(X0)，F1(X1)，F2(X2) …… 其中Fi(Xi)表示Xi的分布函数。对其关于x求偏导，即X（t）的一维概率密度函数f(x,ti). 时间序列的所有二维分布是： Fij(Xi,Xj)，i,j=0,±1, ±2, ±3 …… 其中Fij(Xi,Xj)是二元随机变量(Xi,Xj)的联合概率分布。 …… …… 如果我们能确定出时间序列的概率分布，我们就可以对时间序列构造模型，并描述时间序列的全部随机特征，但由于确定时间序列的分布函数一般不可能，人们更加注意使用时间序列的各种特征量的描述，如均值函数、协方差函数、自相关函数、偏自相关函数等，这些特征量往往能代表随机变量的主要特征。 2.均值函数 一个时间序列{Xt，t=0, ±1, ±2 ……}的均值函数指： 3. 时间序列的自协方差函数 4.时间序列的自相关函数 三、平稳序列的自协方差和自相关函数 1.平稳序列的自协方差函数和自相关函数 若{Xt}为平稳序列，假定EXt=0，由于 令s=t-k，于是我们就可以用以下记号表示平稳序列的自协方差函数，即： 相应的，严平稳序列的自相关函数记为： 2.平稳序列的自协方差序列和自相关函数列的性质 四、白噪声序列和独立同分布序列 1.白噪声（White noise）序列 定义：若时间序列{Xt}满足下列性质： 白噪声序列是一种特殊的宽平稳序列，也是一种最简单的平稳序列，它在时间序列分析中占有非常重要的地位。 2.独立同分布（iid）序列 定义：如果时间序列{Xt}中的随机变量Xt，t=0, ±1, ±2 ……是相互独立的随机变量，且Xt具有相同的分布（当Xt有一阶矩时，往往还假定EXt=0）,则称{Xt}为独立同分布序列。 可见独立同分布序列{Xt}是一个严平稳序列。 一般来说，白噪声序列与独立同分布序列是不同的两种序列，但是当白噪声序列为正态序列时，它也是独立同分布序列，此时我们称其为正态白噪声序列（NID）。 六、线性平稳序列 1.时间序列的线性 运算 设{Xt}与{Yt}为两个时间序列，a，b为两个实数，那么，zt=axt+byt t=0, ±1, ±2 …… 为序列{Xt}与{Yt}的一种线性运算。 2.时间序列的迟运算 设{Xt}为一时间序列，d为一正整数，那么， yt=xt-d t=0, ±1, ±2 ……为Xt的d步延迟运算。 3.时间序列的线性与延迟联合运算 yt=a0xt