第二单元 极限与连续第一节 数列的极限(略).pptVIP

第二章 极限与连续 第一节 数列的极限(略) 第二节 函数的极限 二、 时，函数 的极限 定义：如果当 时，函数 无限接近于常数 ，即 ，则称 时，函数 以常数 为极限，记为： 例1：求下列极限 以上几个都是有定义且有极限的情况 此例是无定义而有极限的情况 -0.4 -0.2 0.2 0.4 -1 -0.5 0.5 1 (6)如果 ，求 不存在 此例是有无定义也无极限的情况 此例是有定义而无极限的情况 三．函数 在点 的左右极限 定义：如果当 从 的左边趋于 时，函数 无限接近于常数 ，则称常数 为 在 处的左极限，记为： 同理：如果当 从 的右边趋于 时，函数 无限接近于常数 ，则称常数 为 在 处的右极限，记为： 极限存在的充分必要条件： 函数 在点 极限存在的充分必要条件式是左右极 限存在并且相等。 例3： 设函数 ，试讨论在 处的极限． 解： 是分段函数的分段点， 例4：讨论函数 在 处极限． 解： 第三节 无穷小量与无穷大量 1.定义:极限为零的变量称为无穷小量. 一、无穷小量与无穷大量 如 注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 2.零是可以作为无穷小的唯一的数. 定义 当 （或 ）时，函数的绝对值 无限的增大，则称函数在当 （或 ）时为无穷大量，记为 定理:无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大. 即: 2.无穷小的运算性质: (1) 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. (2) 有限个无穷小的乘积也是无穷小. (3) 常数与无穷小的乘积是无穷小. (4) 有界变量与无穷小的乘积是无穷小. 定义：若两个无穷小量 ， 之比的极限 则称 是 的高阶无穷小量。 3.无穷小的比较: 定义：若两个无穷小量 ， 之比的极限 则称 和 为等价无穷小量，记为 第四节．极限的四则运算法则 一 极限的四则运算法则 定理 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 该法则成立的前提是： 都存在 例5:求下列极限 解: 一般地: 二、计算有理分式极限的运算法则 （1）计算有理分式在 极限的运算 例6：求下列极限 解: 因为分母的极限为0，而分子极限为8 所以极限的四则运算法则不能用 从而可以总结出下列规律： 当 时， （代入即可） 当 时， 当 时， 约去零因子 后的有理分式的极限（分子分母都要分解因式） 例7：利用上面的规律求下列极限 解: 分子分母分解因式 （2）计算有理分式在 极限的运算 例8：求下列极限 解: 由于当 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在 所以极限的四则运算法则不能用 在分子分母中同时除以 的最高次幂，可化为极限存在的情况 从而可以总结出下列规律： 例 9： 利用以上规律求下列极限 解: 课堂练习 1、求下列极限