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* * * * * 第三节 任意项级数敛散性的判别 交错级数 ------特殊级数的特殊判别法 绝对收敛与条件收敛 ------收敛级数的进一步分类 一.交错级数 形如 的级数,称为交错级数. 1.定义 或 注 (1)正负相间 (2) 并非真正意义上的第 项. 2.定理7.6(莱布尼兹判别法) 如果交错级数 满足如下条件: 则 收敛. 分析 极限存在(定义法) 和 极限存在且相等 极限存在 单调有界 证 综上所述 极限存在 设 又 则 故 极限存在 从而级数 收敛. 极限存在值为 即 例1 判断交错级数 的敛散性. 解 由莱布尼兹判别法知 收敛. 例2 判断交错级数 的敛散性. 解 (1) 故 单调递减 从而 (2) 由莱布尼兹判别法知 收敛. 总结 转化为 转化为 设 欲证: 二.绝对收敛与条件收敛 级数 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛 收敛, 收敛, 收敛. 发散. 定理7.7 如果 收敛,则 收敛. 证 令 则 为正项级数 因 且 收敛 从而 收敛. 故 收敛 级数 绝对收敛 条件收敛 发散 收敛 收敛, 收敛, 收敛. 发散. 判断绝对收敛与条件收敛的参考步骤: 收敛 发散 绝对收敛 收敛 发散 条件收敛 发散 比值法 其它法 发散 例3 判断下列级数的敛散性.若收敛,是绝 对收敛还是条件收敛? 解 因 且 收敛 故 收敛 从而 绝对收敛. 先考察 的敛散性 因 故 发散 从而 发散. 先考察 的敛散性 *