第九单元 欧氏空间与线性变换.pptVIP

第九章 欧氏空间及线性变换 一、基本概念和重要结果 本章研究欧氏空间及线性变换的性质,特别是几种重要的线性变换,如正交变换、对称变换与正规变换等. 1.欧氏空间与内积 设V是实数域上的线性空间并定义了内积,则称V为欧几里得空间,简称为欧氏空间.设 ∈V,则 与 的内积记为 . (1) (2) (3) (4) (5)设 与 间的夹角为 ,则 ,其中 分别表示 的长度. (6) ,等式成立当且仅当 线性相关. (7)若 ,则称 正交. 2.正交变换 (1)下列说法等价 (a)欧氏空间V的线性变换/A是正交变换. (b)/A保持内积不变,即对任意的 ,有 (d) )/A把一组标准正交基变为一组标准正交基. (e) )/A在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵. (2)欧氏空间的一个变换,若它保持内积不变,则它是正交变换. (3)正交变换的逆和积是正交变换. (4)/A的特征根的模等于1. (c)/A保持长度不变,即对V的任意元 有 3.对称变换 (1)欧氏空间V的线性变换/A是对称变换当且仅当对任意的 有 ,当且仅当在一组标准正交基下的矩阵为对称矩阵. (2)设/A是欧氏空间V的对称变换,若V1是/A的不变子空间,则V1的正交补V1⊥也是/A的不变子空间. (3)对称变换得所有特征根全为实数,且属于不同特征根的特征向量互相正交. 4.共轭变换与正规变换 设V是复数域上的线性空间,并定义了内积,则称V为酉空间.这里的内积是二元复函数,满足 .其它性质类似于欧氏空间的内积.对应于欧氏空间的正交变换和对称变换,在酉空间中有酉变换和对称变换.设/A是酉空间中的线性变换,若对任意的 有 ,则称/B是/A的共轭变换,并记为/B=/A*. (3)设酉空间V的子空间W是线性变换/A的不变子空间,则W的正交补W⊥是/A*的不变子空间. (6)若线性变换/A满足/A*/A=/A/A*,则称/A为正规变换.正交变换、对称变换都是正规变换. (1)设线性变换/A在一组标准正交基下的矩阵为A,则/A的共轭变换在这组基下的矩阵为 . (2)共轭变换满足(/A*)*=/A,(/A+/B)*=/A*+/B*, (/A/B)*=/B*/A*,(k/A)*= /A*. (4)若/AX= X,则/A*X= X. (5)若线性变换/A特征根为 ,则/A*的特征根为 . (7)设/A是正规变换,则属于/A的不同特征根的特征向量正交. (8)若/A是正规变换,W是/A的不变子空间,则W⊥也是/A的不变子空间. (9)若线性变换/A满足/A*=-/A,则称/A为酉空间的反对称变换.显然反对称变换也是正规变换,且它满足对任意的 有 . 二、基本方法 常用的欧氏空间: (1)线性空间Rn,对如下定义的内积构成欧氏空间 (2)线性空间C(a,b),f(x),g(x)∈C(a,b)对如下定义的内积构成欧氏空间 三、考点 考点1：欧氏空间、内积、标准正交基与正交矩阵,Gram矩阵,正交补 考点点拨:主要对欧氏空间的定义、欧氏内积、标准正交基与正交矩阵的关系,以及Gram矩阵和正交补概念的考查.