第九单元 代数系统.pptVIP

消去律 定义9.11 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，满足以下条件： （1）若x?y ＝x?z且x ? ，则y ＝z （左消去律） （2）若y?x ＝ z?x且x ? ，则y＝z （右消去律） 则称?运算满足消去律。 例如： 整数集合上的加法和乘法都满足消去律。 幂集P(S)上的并和交运算一般不满足消去律。 例9.6 例9.6 对于下面给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 （1）Z+，?x,y∈Z+，x*y＝lcm(x,y)，即求x和y的最小公倍数。 解答 （1）*运算可交换、可结合、是幂等的。 ?x?Z+，x*1=x ， 1*x=x ，1为单位元。 不存在零元。 只有1有逆元，是它自己，其他正整数无逆元。 思考：在运算表中，满足交换律、幂等律，具有零元、么元的表各具有什么特点。 交换律的表沿主对角线对称。 幂等律的表主对角线与每一行和每一列元素相同。 有零元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与该元素相同。 有么元的表，当且仅当该元素所对应的行和列依次与运算表的行和列相同。 A与b互逆，当且仅当以这两个元素为行和列的焦点出为么元。 思考，虽然没有么元、零元或者逆元，但是否有左、右么元（零元、逆元）的存在？ 例9.7 例9.7 设A={a,b,c}，A上的二元运算?、?、?如表所示。 (1)说明?、?、?运算是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。 (2)求出关于?、?、?运算的单位元、零元和所有可逆元素的逆元。 ? a b c a a b c b b c a c c a b ?运算满足交换律、结合律和消去律，不满足幂等律。单位元是a，没有零元，且a-1=a，b-1=c，c-1=b。 ?运算满足交换律、结合律和幂等律，不满足消去律。单位元是a，零元是b，只有a有逆元，a-1=a。 ?运算满足结合律和幂等律，不满足交换律和消去律。没有单位元，没有零元，没有可逆元。 解答 ? a b c a a b c b b b b c c b c ? a b c a a b c b a b c c a b c 复习 分析 9.2 代数系统 定义9.12 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…, fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，记做S, f1, f2, …, fk。 实例： N,＋、Z,＋, ? 、R,＋, ?都是代数系统，其中+和?分别表示普通加法和乘法。 Mn(R),＋, ?是代数系统，其中＋和?分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法。 P(S),∪,∩,~是代数系统，其中∪和∩为并和交，~为绝对补。 集合（规定了参与运算的元素） 运算（只讨论有限个二元和一元运算） 代数常数 在定义代数系统的时候，如果把零元和单位元也作为系统的性质，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。 有时为了强调某个代数系统是含有代数常数的系统，也可以把这些代数常数列到系统的表达式中。 例如：代数系统Z,+,0。 代数系统的成分 列出所有的成分：集合、运算、代数常数（如果存在） 例如 Z,+,0，P(S),∪,∩, ? , S 列出集合和运算，在规定系统性质时不涉及具有单位元的性质（无代数常数） 例如 Z,+ ，P(S),∪,∩ 用集合名称简单标记代数系统 例如 在前面已经对代数系统作了说明的前提下，上述两个代数系统可以简记为Z, P(S) 代数系统的表示 定义9.13 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称这两个代数系统具有相同的构成成分，也称它们是同类型的代数系统。 例如 V1=R, +, ·, 0, 1 V2=P(B), ∪, ∩, ?, B V1、V2是同类型的代数系统，因为它们都含有2个二元运算， 2个代数常数。但是它们的运算性质不一样。 同类型的代数系统 V1=R, +, ·, 0, 1 V2=P(B), ∪, ∩, ?, B + 和·可交换、可结合 · 对 + 可分配 + 和·不满足幂等律 + 与 · 没有吸收律 + 和·满足消去律 ∪和∩可交换、可结合 ∪和∩互相可分配 ∪和∩都有幂等律 ∪和∩满足吸收律 ∪和∩一般不满足消去律 定义9.14设V＝S, f1, f2, …, fk是代数系统，B?S，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称B, f1, f2, …, fk是V的子代数系统，简称子代数。简记为B。 例如： N是Z,＋的子代数，N也是Z,＋,0的子代数。 N?{0}是Z,＋的子代数，但不是Z,＋,0的子代数。 子代数和原代数具有相同的成分，运