第三单元 线性代数方程组.pptVIP

非齐次方程组的通解 对于非齐次方程组 AX=b 设 是其导出组的一个基础解系， 是非齐次方程的一个特解，那么方程组的通解： 解答步骤 解答步骤 首先，3~n+2列减去第一列。 然后， 那么 该题还可以用归纳法来证明： 课堂讨论题： (1)问：a,b取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。 解：当a=0,b=2时，方程有解。因为 （2）问：a，b取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。 解： 当 时有唯一解； 当 时： （a） 时，没有解； （b）b=5时，有无穷多个解。 当 时有无穷多解； b=-1时， ，所以方程没有解。 因为 不论a是何值！ (3)设 计算 采用两次加边的方法 再加边，构成n+2阶行列式。 3~n+2列减去第二列。 (5)证明 按第1列分解成两个行列式之和。 第三章 线性代数方程组 3．1 矩阵的秩 3.1.1 概念 定义 1 对于mхn 矩阵 A，称其一切非退化方子矩阵的最高阶数k为A的秩(rank)，记作r(A)，并规定r(O)=0。 A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行列式（简称子式），则定义1 可以如下叙述： r(A)是A的一切非零子式的最高阶数。 结论：若A的秩为k，则A至少有一个不为零的k阶子式，但是所有k+1阶子式都为零，进一步可以推出A的所有阶数大于k的子式都为零 。 为什么？ 例 1 ：求下列矩阵的秩 分析例中3个矩阵的求秩过程，可以得到如下结论： （1）A=0的充要条件是 rank(A)=0； （2）若A有一个k阶子式不为零，那么r(A)≥k； 当r(A) = k时 ，则A至少有一个不为零的k阶子式， 但不是所有k阶子式都不为零，而且可以断言所有高于k 阶的子式(如果存在)都为零； (3) 若A是mхn 矩阵，那么r(A)≤min{m,n}； r(A)=r(AT)； (4) 若A是n阶矩阵，则r(A) ≤n。 r(A)=n detA≠0 是 A可逆。 称行列式不为零的矩阵为满秩阵(非退化阵)；行列式为零的矩阵为降秩阵(退化阵)。 练习 1 对于矩阵 k取何值时，可使： （1）r(A)=1 (2) r(A)=2 (3) r(A)=3。 练习2 证明 r(A)=r(AT)。 3．1．2 计算 定义2 满足以下两个条件的mхn矩阵称为梯矩阵： 1．第 k+1 行的首个非零元（如果有的话）前的零元个数多于第k行的非零元（如果存在）前的零元个数，k=1, 2, …, m-1； 2．如果某行都是零元，则其下所有行的元都是零。 例 2 说明 为梯矩阵，并求出rank(A)。 结论 如果A是梯矩阵，那么r(A)=A的 非零行的行数。 对于一般的mхn矩阵，从秩的定义求A的秩是不方便的。希望将A经过初等变换，变换成梯矩阵，然后再求A的秩。 问题： 经过初等变换的矩阵，其秩会变化？ 定理 1 任一mхn矩阵A经有限次初等变换后，其秩不变。 证明 设A 经一次行初等变换后成为B，首 先证明 r(A)≤r(B)， （B=RA；） 推得：r(B)≤r(A)， （ 因为 A=R-1B） 得到 r(A)=r(B)。 因此，只要分别对三类初等变换证明 r(A)≤r(B)。 设r(A)=k。 对第一类行初等变换， 因为r(A)=k，即A中必有一个k阶子式Mk≠0。 B中有一个与Mk对应的k阶子式Nk，满足下述之一的条件： （1）当Mk中不包含A 的第i行和j行的元素，那么 Mk=Nk； （2）当Mk中仅包含A的第i行（或j行）元素；只要适当交换Nk的行，就可以得到Mk，Mk=± Nk。 （3）当Mk中包含A的第i 行和第j行，只要交换Mk中与A的第i、j行对应的行，就可以得到Nk，所以 Mk= - Nk。 综上