第七单元 角动量.pptVIP

角动量的耦合 考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及两个角 动量：轨道角动量与自旋角动量。两个角动量如何 相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量 耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要 讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与 自旋角动量等）的一般理论，总角动量的本征值和 本征矢，近而对量子系统给出更精确的描述。 1 体系的两种表象 1.1 无耦合表象 令体系有两个角动量 ，它们满足 其中，前四个关系式分别表示 自身的性质；后两个对 易关系，完全是因为 是各自独立的。 设 是 的共同本征矢 相应的本征值分别为 又 是 的共同本征矢 相应的本征值分别为 由于 是各自独立的， 相互对易，它们 的共同本征矢写为 （在坐标表象， ） 它们构成正交归一完备系 　 称为无耦合基矢 以此为基矢的表象称为无耦合表象 （1）在无耦合表象中， 均为对角矩阵； （2）对于给定的 ， 可取 个值 ， 可取 个值，所以无耦合表象基矢有 个，各自 以量子数 的不同取值而体现，所以无耦合表象基 矢有时写成 1.2 耦合表象 总角动量算符定义: 满足关系式 由于 对易，总角动量平方算符写为 由此可见 ， 对易，它们具有共同本征矢 则 的本征方程为 也构成一组正交归一完备系　　 以此为基矢的表象称为耦合表象 （1）在耦合表象中，算符 均为对角矩阵； （2）对于给定的 ， 中可有不同的 或 ，所以 有时可把耦合基矢写为 ，对应一个 值， 可取 个值，所以耦合表象基矢应有 个 ，其 中 由 确定 。 2 耦合表象基矢的展开 以上两个表象，从它们相应的力学量的完全集看，尽管 都含 ，但因耦合表象中 与无耦合表象中的 不对易，故它们是描述同一状态的两个不同表象。假定 确定，我们可将耦合表象基矢按无耦合表象基矢展开 展开系数 是耦合表象基矢在无耦合表象基 矢上的分量，称为矢量耦合系数或称克来布希－高登系数（Clebsch-Gorden）,简称C－G系数。 由 可知 故 所以将（9）改 写成 2.1 量子数 的取值 当量子数 给定时 而 故有 无耦合表象到耦合表象只是一个幺正变换，所以两个 表象的基矢数应该是相等的 等差级数求和，计算后得 而 所以 2.2 矢量耦合系数 矢量耦合系数的明显表达式的推导十分复杂，有专门表 可查，有兴趣的话可以参考有关高等量子力学书籍，在此仅 给出 （任意）, 时的几个矢量耦合系数 ，并代入 （10）式得 3 光谱的精细结构 光谱的精细结构来自于能级的精细结构(以Na的D线为 例，精细结构是双线)。现在我们可以用考虑电子自旋后的 量子力学简并微扰理论加以解释。 在无外场情况下，考虑轨道与自旋的相互作用