第一、二单元习题课.pptVIP

* * * * * * 九、用谓词和量词将下列语句符号化： (1) 没有不犯错误的人。 (2) 每个计算机系的学生都学习离散数学。 (3) 对每一个x和y，有一个z，使x+y=z。 * * 解 (1) 设F(x)表示“x犯错误”，M(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：??x(M(x)∧?F(x))或?x(M(x)?F(x)) 。 (2) 设S(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：?x(S(x)? D(x))。 (3) 设E(x,y,z)表示“x+y=z”，则此语句符号化为：?x?y?z E(x,y,z)。 * * 十、设个体域是全体整数集，令P(x,y,z)：xy=z；E(x,y)：x=y；G(x,y)：xz。将下列语句符号化： (1) 若y=1，则对任何x都有xy=x。 (2) 若xy≠0，则x≠0和y≠0。 (3) 若xy=0，则x=0或y=0。 (4) 若x≤y和x≥y，则x=y。 * * 解 (1) 符号化为：?y(E(1,y)??xP(x,y,x))。 (2) 符号化为：?x?y(?P(x,y,0)?(?E(x,0)∧?E(0,y)))。 (3) 符号化为： ?x?y(?P(x,y,0)?(E(x,0)∧E(0,y)))。 (4) 符号化为： ?x?y(((E(x,y)∨G(y,x)) ∧((E(x,y)∨G(x,y)))? E(x,y))。 * * 十一、设个体域为自然数集N，令P(x)：x是素数；E(x)：x是偶数；O(x)：x是奇数；D(x,y)：x整除y。将下列各式译成自然语言： (1) ?x(E(x)∧D(x,6))。 (2) ?x(O(x)??y(P(y)??D(x,y)))。 (3) ?x(?E(x)??D(2,x))。 (4) ?x(E(x)??y(D(x,y)?E(y)))。 * * 解 (1) 存在偶数x整除6。 (2) 对奇数x，若y是素数，则x不整除y。 (3) 如果x不是偶数，则2不整除x。 (4) 对偶数x，若x整除y，则y是偶数。 * * 十二、指出下列公式中量词的辖域，并指出个体变元是约束变元还是自由变元： (1) ?x(P(x)∧?xQ(x))∨?x(P(x)?Q(x))。 (2) ?x(P(x,y)∧?yQ(y))∧(?xR(x)?Q(x))。 (3) ?x(P(x,y)∨Q(z))∧?y(R(x,y)? ?zQ(z))。 * * 解 在公式?x(P(x)∧?xQ(x))∨(?x(P(x)?Q(x))中， 第一次出现的?x的辖域为P(x)∧?xQ(x)，?x的辖域为Q(x)，而第二次出现的?x的辖域为P(x)?Q(x)。公式中只出现了变元x，所有x都是约束变元 。 * * (2)在公式?x(P(x,y)∧?yQ(y))∧(?xR(x)?Q(x))中，第一次出现的?x的辖域为P(x,y)∧?yQ(y)，而第二次出现的?x的辖域为R(x)，?y的辖域为Q(y)。P(x,y)中的y是自由变元，x是约束变元。Q(y)中的y是约束变元。R(x)中的x是约束变元，而Q(x)中的x是自由变元。 * * (3)在公式?x(P(x,y)∨Q(z))∧?y(R(x,y)? ?zQ(z))中， ?x的辖域为P(x,y)∨Q(z)，?y的辖域为R(x,y)??zQ(z)，?z的辖域为Q(z)。 公式中第一次出现的x是约束变元，第二次出现的x是自由变元，第一次出现的y和z都是自由变元，而第二次出现的y和z都是约束变元。 * * 十三、给定解释I如下： (1) 个体域为实数集R；(2) 元素a=0； (3) 函数f(x,y)=x-y；(4) F(x,y)：xy。 在解释I下，求下列各式的真值？ (1) ?xF(f(a,x),a)。 (2) ?x?y(?F(f(x,y),x))。 (3) ?x?y?z(F(x,y)?F(f(x,z),f(y,z)))。 (4) ?x?yF(x,f(f(x,y),y))。 * * 解 (1) ?xF(f(a,x),a) ? ?x(f(a,x)a) ? ?x(a-xa) ? ?x(0-x0) ? ?x(0x) ? F。 * * (2) ?x?y(?F(f(x,y),x)) ? ?x?y(?(f(x,y)x)) ? ?x?y(?(x-yx)) ? ?x?y(?(0y)) ? ?x?y(y≤0) ? F。 * * (3) ?x?y?z(F(x,y)?F(f(x,z),f(y,z))) ? ?x?y?z((xy)?(f(x,z)f(y,z))) ? ?x?y?z((xy)?(x-zy-z)) ? ?x?y?z((xy)?(xy)) ? T。