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本章重点、难点 熟悉连续时间基本信号： 熟练掌握连续信号卷积积分的定义、图解机理、性质和计算。 学会使用微分算子方程描述LTI连续系统。 重点掌握LTI时域响应的系统求解法。系统传输算子H(P)、冲击响应h(t)、阶跃响应g(t)、系统零输入响应yx(t)、零状态响应yf (t)和完全响应y(t)。 了解LTI时域响应的微分方程经典算法。 第二步，求出第i个根对应的零输入响应yxi(t) 第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零输入响应， 第四步，根据给定的初始条件 ，确定常数 第一步，将A（p）进行因式分解 综上所述，对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤是： 某例 2.4 – 1 某系统输入输出微分算子方程为 已知系统的初始条件y(0-)=3, y′(0-)=-6，y″(0-)=13, 求系统的零输入响应yx(t)。 解 由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2 所以 代入初始条件值并整理得 联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。将各系数值代入式(2.4 - 16)，最后求得系统的零输入响应为 例 2.4-2 电路如图2.4-1(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1Ω， R2=5Ω，C=0.25 F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6 V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t≥0时的零输入响应iLx(t)。 图 2.4-1 例2.4-2图 解 画出给定电路的算子电路模型如图2.4-1(b)所示，列出电路的回路电流方程 2.5.2 基本信号δ(t)激励下的零状态响应 1. 冲激响应 一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)。 ? 2.5 连续系统的零状态响应 图2.5-2 冲激响应的定义 2. 冲激响应的计算 设LTI连续系统的传输算子为H(p)，现在讨论从H(p)出发计算冲激响应h(t)的方法。 具体做法是先研究若干简单系统的冲激响应，再在此基础上推导出一般系统冲激响应的计算步骤。 简单系统1 此时，响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为 这是关于h(t)的一阶微分方程， 求得 于是 简单系统2 将这一结果推广到特征方程A(p)=0在p=λ处有r重根的情况，有 简单系统3 综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是： 第一步：确定系统的传输算子H(P)。 第二步：将H(P)进行部分分式展开。 第三步：根据公式得到各分式所对应的冲激响应分量hi(t) 。 第四步：将得到的各冲激响应分量hi(t)相加，最后得到系统的 冲激响应 h (t) 。 例 2.5-1 描述系统的微分方程为 求其冲激响应h(t)。 解 由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为 其H(p)可表示为 例 2.5-2 二阶电路如图2.5-3所示，已知L=0.4 H，C=0.1F， G=0.6S，若以us(t)为输入，以uC(t)为输出，求该电路的冲激响应h(t)。 图 2.5-3 例2.5-2图 解 (1) 列写电路输入输出方程。 按图2.5-3，由KCL和KVL有 (2) 求冲激响应。 电路的输入输出算子方程为 根据式(2.5-5)， 求得 2.5.3 一般信号f(t)激励下的零状态响应 图 2.5-4 系统的零状态响应 利用卷积运算的分配律和时移性质， 可将给定的卷积计算式表示为 由于 因此，可直接利用卷积时移性质得到 图 2.2 – 3 例2.2 - 3图 图 2.2 – 4 应用δT(t)产生周期信号 例 2.2 – 4 图2.2 - 5(a)所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号gτ(t)表示，其幅度为1，宽度为τ，求卷积积分gτ(t)*gτ(t)。 解 图解法 2.2.4 常用信号的卷积公式 表 2.1 常用信号的卷积公式 2.3 系统的微分算子方程 2.3.1 微分算子和积分算子 式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。 对于微分方程 性质1 展开和因式分解性质： 性质2 交换性质： 微分算子p的几个运算性质： 性质3 微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如，由下面方程 上式正确的结果应写为 性质4