5.6平面向量的数量积及运算（二）.pptVIP

5.6 平面向量的数量积及运算律(二) 教学目标： 1.掌握平面向量数量积运算规律； 2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用 一、复 习 引 入： 2．平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫a与ｂ的数量积，记作a?b， 即有 a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）. 并规定零向量与任何向量的数量积为0。 二、新 课 教 学： 平面向量数量积的运算律 1．交换律：a ? b = b ? a 2．数乘结合律：(λa)?b =λ(a?b) = a?(λb) 3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c 2、证明：(λa)?b =λ(a?b) = a?(λb) 小 结 掌握平面向量数量积及其运算律， 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题. * * 1．两个非零向量夹角的概念 3、向量b在a方向上的投影 A B O a b B1 θ A B O B1 θ A B O （B1） θ 定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。 投影也是一个数量，不是向量； 当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0； 当? = 0?时投影为 |b|； 当? = 180?时投影为 ?|b|。 向量的数量积的几何意义： 数量积a?b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos?的乘积。 ①e·a=a·e=|a| cosθ. ②a⊥b a·b=0. ③当a与b同向时, a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|. 特别地， a·a=|a|2或|a|= 。 ⑤|a·b|≤|a||b| ④ 4．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。 证：若λ 0，(λ a)?b = λ |a||b|cos?， λ (a?b) = λ |a||b|cos?，a?(λ b) = λ |a||b|cos?， 若λ 0， (λ a)?b =| λ a||b|cos(???) = ?| λ a||b|(?cos?) = λ |a||b|cos?， λ(a?b) = λ |a||b|cos?， a?(λ b) =|a|| λ b|cos(???) = ? λ | a||b|(?cos?) = λ |a||b|cos?。 A1 B1 ? ?1 ?2 b B A a O C c 3、证明：(a + b)?c = a?c + b?c 证；在平面内取一点O，作 = a, = b， = c， ∵a + b （即 ）在c方向上的投影等于a、b在c方 向上的投影和， 即 |a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 ∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2 ∴c?(a + b) = c?a + c?b 即：(a + b)?c = a?c + b?c 例1 辨析题: 1.若a≠0,且a · b=0,则b=0. 2.若a≠0,且a · b=a · c,则b=c. 3.(a · b) · c=a · (b · c). 1.若a≠0,且a · b=0,则b=0. 2.若a≠0,且a · b=a · c,则b=c. 3.(a · b) · c=a · (b · c). 4.若a2=0,则a=0 5.若a2+b2=0,则a=b=0 6若 |a · b|≥|a| · |b|， 则a∥b. 向量的数量积不满足结合律 a b c ┐ 解: =62-6×4×cos60o-6×42 =-72 ( a+2b )·( a-3b )=a · a - a · b –6 b · b =| a |2-| a || b |cos?-6| b |2 5. 已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60 o,求(a+2b)· (a-3b). 例3 例4 证：如图