5.6平面向量的数量积及运算律(一).pptVIP

5.6 平面向量的数量积及运算律(一) 教学目标： 1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的 理解和平面向量数量积的应用 一、复 习 引 入： 2．平面向量数量积（内积）的定义： 已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos?叫a与ｂ的数量积，记作a?b， 即有 a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）. 并规定零向量与任何向量的数量积为0。 a?b = |a||b|cos?，（0≤θ≤π）. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分。符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a?0，且a?b=0，则b=0；但是在数量积中，若a?0，且a?b=0，不能推出b=0。因为其中cos?有可能为0。 （4）已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c。但是a?b = b?c a = c 如右图：a?b = |a||b|cos? = |b||OA|， b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ? a?b = b?c 但a ? c (5)在实数中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c ? a(b?c) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量， 例3 判断正误，并简要说明理由. ①a·0＝0；②0·a＝０；③0－ ④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜； ⑤若a≠0，则对任一非零ｂ有a·ｂ≠０； ⑥a·ｂ＝０，则a与ｂ中至少有一个为0； ⑦对任意向量a,ｂ,с都有（a·ｂ)с＝a （ｂ·с) ⑧a与ｂ是两个单位向量，则a２＝b２. 对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0 对于②：应有0·a＝0； 对于④：由数量积定义有｜a·ｂ｜＝｜a｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a·ｂ｜＝｜a｜·｜ｂ｜； 对于⑤：若非零向量a、ｂ垂直，有a·ｂ＝0； 对于⑥：由a·ｂ＝0可知a⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若a与с共线，记a＝λс. 则a·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（a·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）a 若a与с不共线，则(a·ｂ)с≠（ｂ·с）a. 例4．(08. 陕西）关于平面向量a，b，c，有下列三个命题： ①若a·b=a·c，则b=c；②若a=(1,k),b=(-2,6)，a∥b则k=-3；③非零向量a和b满足 则a与a+b的夹角为60o． 其中真命题的序号为 ．(写出所有真命题的序号) 例5.已知△ABC中，a＝5，ｂ＝8，Ｃ＝60°,求 对此题，有同学求解如下 解：如图，∵｜ ｜＝a＝5，｜ ｜＝ｂ＝8， Ｃ＝60°， ∴· cosＣ ＝5×8cos60°＝20. 练 习 1．课本练习 2，3，4。 ①平面向量的数量积及其性质； ②理解数量积的运算是不同于实数运算的一种新的运算，注意它们的区别； ③会用数量积的运算解决几何中线、线位置关系、距离、角度等问题和物理学中的力做功等问题； ④体会分类讨论、数形结合的思想。 研究性题：已知 △ ABC中， = c， =b， = a，试用向量数量积的形式添加一个条件，使得 △ ABC为锐角三角形。 * * 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ0时,λa的方向与a方向相同； 当λ0时,λa的方向与a方向相反； 特